ปรากฏการณ์เชิงสัมพัทธภาพ

ลองนึกถึงนาฬิกาแสงที่มีกระจกสองบาน หนึ่งครั้งที่นาฬิกาเดินคือพัลส์แสงเดินทางไปกลับระหว่างกระจก สำหรับผู้โดยสาร แสงเดินทางในแนวดิ่ง แต่สำหรับผู้สังเกตภายนอก แสงยังเคลื่อนไปตามแนวการเคลื่อนที่ของยานด้วย ถ้าทั้งคู่ได้อัตราเร็วแสง c เท่ากัน ช่วงเวลาระหว่างการเดินของนาฬิกาจะเท่ากันหรือไม่?

ในยานที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวโดยไม่หมุน วัตถุอิสระยังเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วคงตัว เช่นเดียวกับในกรอบอ้างอิงเฉื่อยอื่น หลักสัมพัทธภาพระบุว่ากฎฟิสิกส์เหมือนกันในทุกกรอบเช่นนี้ ทั้งโลกและยานไม่ได้เป็นกรอบพิเศษเพียงเพราะชื่อหรือความรู้สึกว่าอยู่นิ่งจริง เราต้องระบุผู้สังเกตและวิธีวัดที่จะเปรียบเทียบ หากยานเร่ง จะไม่ตรงกับแบบจำลองกรอบเฉื่อยอย่างง่ายนี้แล้ว

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ผู้สังเกตในกรอบเฉื่อยทุกคนวัดอัตราเร็วแสงในสุญญากาศได้เท่ากันคือ c≈3·10⁸ м/с ไม่ว่าแหล่งกำเนิดจะเคลื่อนที่อย่างไร เราจึงใช้การบวกแบบเดิม c+v กับแสงตรง ๆ ไม่ได้ สำหรับนาฬิกาแสง ผู้สังเกตภายนอกได้เส้นทางพัลส์ที่เอียงและยาวกว่า แต่มีอัตราเร็วแสงเท่าเดิม ช่วงเวลาระหว่างการเดินของนาฬิกาจึงนานกว่า ต่อไปนี้ให้อัตราเร็วสัมพัทธ์ระหว่างกรอบคงตัวและ v<c

จากเรขาคณิตของเส้นทางเอียงได้ตัวประกอบ \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2} สำหรับครึ่งหนึ่งของการเดินทางไปกลับ สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉาก cτ/2 ด้านแนวระดับ vτ/2 และด้านแนวดิ่ง cτ₀/2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสให้ τ=γτ₀ ค่า γ ไม่มีหน่วยและไม่น้อยกว่าหนึ่ง เมื่อ v=0 จะเท่ากับ 1 และเมื่อ v≪c จะเกือบเท่ากับ 1 แต่เมื่อ v เข้าใกล้ c ค่านี้เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว กลศาสตร์แบบเดิมจึงให้ผลไม่แม่นยำ

τ₀ ในแผนภาพนี้คืออะไร? คือเวลาที่วัดด้วยนาฬิกาในกรอบพักของมัน (proper time) ระหว่างสองเหตุการณ์ โดยนาฬิกาอยู่ ณ จุดเกิดเหตุการณ์ทั้งสอง การเดินสองครั้งของนาฬิกาบนยานเกิดที่ตำแหน่งเดียวกันในกรอบของยาน นาฬิกานี้จึงวัด τ₀ แต่ในกรอบภายนอก นาฬิกาเคลื่อนที่ระหว่างนั้น เหตุการณ์จึงมีพิกัดต่างกัน เราต้องเลือกเหตุการณ์คู่เดียวกันก่อน แล้วจึงบอกว่าช่วงเวลาใดเป็นเวลาในกรอบพักของนาฬิกา

สำหรับเหตุการณ์คู่นี้ \tau=\gamma\tau_0=\tau_0/\sqrt{1-v^2/c^2} โดยเวลาทั้งสองมีหน่วยวินาที ในกรอบที่นาฬิกาเคลื่อนที่ ช่วงเวลาตามพิกัดระหว่างการเดินสองครั้งจะนานกว่า การวัดนี้ใช้นาฬิกาที่ตั้งเวลาให้สอดคล้องกันในกรอบนั้น ไม่ใช่เพียงภาพที่มาถึงช้าเพราะผู้สังเกตอยู่ไกล หากสลับบทบาทของกรอบเฉื่อย แต่ละกรอบก็อธิบายว่านาฬิกาอีกกรอบเดินช้าลงได้ เพราะทั้งสองกรอบตัดสินความพร้อมกันของเหตุการณ์ที่อยู่ห่างกันต่างกัน

การวัดความยาวก็ต้องกำหนดวิธีเช่นกัน ความยาวในกรอบพักของวัตถุ (proper length) l₀ วัดในกรอบที่แท่งอยู่นิ่ง ในอีกกรอบหนึ่งต้องบันทึกตำแหน่งปลายทั้งสองพร้อมกันตามนาฬิกาของกรอบนั้น แล้วหาผลต่างพิกัด ถ้าบันทึกปลายหน้าตอนนี้และปลายหลังทีหลัง แท่งจะเคลื่อนที่ไประหว่างการบันทึก ค่าที่ได้จึงไม่ใช่ความยาว ณ ขณะเดียวกัน ความพร้อมกันของเหตุการณ์ที่อยู่ห่างกันขึ้นอยู่กับกรอบ การวัดความยาวทั้งสองกรอบจึงไม่ได้ใช้เหตุการณ์ที่ปลายแท่งคู่เดียวกัน

สำหรับความยาวตามแนวการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ l=l_0/\gamma=l_0\sqrt{1-v^2/c^2} เมื่อใช้หน่วยเมตร จะมี l≤l₀ ที่ v=0 ความยาวเท่ากัน และเมื่อ v เพิ่ม ค่าความยาวตามแนวการเคลื่อนที่ที่วัดได้จะลดลง ขนาดในแนวขวางไม่ได้หดตามกฎนี้ แท่งไม่ได้ถูกบีบอัดทางกล เพราะในกรอบพักยังยาวเท่าเดิม สิ่งที่เปลี่ยนคือผลจากการบันทึกปลายทั้งสองพร้อมกันในอีกกรอบ ส่วนการถ่ายภาพซึ่งเกี่ยวข้องกับเวลาที่แสงมาถึงเป็นอีกวิธีหนึ่ง

มวลนิ่ง m₀ ในหน่วยกิโลกรัมเป็นสมบัติของวัตถุ และไม่เปลี่ยนเพียงเพราะเลือกผู้สังเกตต่างคนกัน ปัจจุบันมักเรียกสั้น ๆ ว่ามวล เมื่อเร่งวัตถุ พลังงานและโมเมนตัมเพิ่มขึ้นโดยมีตัวประกอบสัมพัทธภาพเกี่ยวข้อง ไม่ได้หมายความว่ามีเนื้อสารเพิ่ม ต้องเปรียบเทียบมวลขณะวัตถุมีสภาพภายในเหมือนกัน การให้ความร้อนหรือเปลี่ยนพลังงานสะสมเป็นกระบวนการทางฟิสิกส์อีกอย่างหนึ่ง ไม่ใช่แค่เปลี่ยนไปใช้ผู้สังเกตที่เคลื่อนที่

บางโจทย์ใช้ข้อตกลงแบบเดิม m=\gamma m_0=m_0/\sqrt{1-v^2/c^2} ซึ่งเรียกว่ามวลสัมพัทธภาพ มีหน่วยกิโลกรัมแต่ขึ้นอยู่กับกรอบ ต่างจาก m₀ ที่ไม่แปรเปลี่ยน เมื่อ v→0 ค่าทั้งสองตรงกัน และเมื่อ v เพิ่ม ค่า m ตามข้อตกลงนี้ก็เพิ่ม ใช้สมการนี้เมื่อโจทย์กำหนดความหมายของสัญลักษณ์ไว้อย่างชัดเจน หากไม่ได้กำหนด การอธิบายด้วยพลังงานและโมเมนตัมจะชัดเจนกว่า โดยไม่เรียกปริมาณที่ขึ้นอยู่กับอัตราเร็วว่ามวล

นาฬิกาบนยานวัดช่วงเวลาระหว่างการเดินสองครั้งได้ 4 s ยานเคลื่อนที่เทียบกับโลกด้วย v=0,6c กรอบเฉื่อยของโลกจะวัดช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์คู่นี้ได้เท่าใด?

เหตุการณ์ทั้งสองคือการเดินของนาฬิกาเรือนเดียวกันบนยาน และเกิด ณ ตำแหน่งเดียวกันในกรอบพักของนาฬิกา ดังนั้น τ₀ = 4 с คือช่วงเวลาในกรอบพัก

γ = 1/√(1 − 0,6²) = 1/√0,64 = 1/0,8 = 1,25.

สำหรับเหตุการณ์คู่เดียวกันในกรอบเฉื่อยของโลก τ = γτ₀ = 1,25 × 4 = 5 с

ห้าวินาทีนานกว่าสี่วินาที การเคลื่อนที่ทำให้ช่วงเวลาระหว่างการเดินของนาฬิกาที่วัดจากกรอบภายนอกนานขึ้น ค่านี้ไม่ใช่เวลารอสัญญาณแสงที่จุดสังเกตจุดเดียวบนโลก

ในกรอบเฉื่อยของโลก τ = 5 с ระหว่างช่วงนี้ นาฬิกาบนยานวัดเวลาระหว่างการเดินสองครั้งที่เลือกไว้ได้ 4 s

อัตราเร็วแสงคงตัวเชื่อมโยงการวัดระยะทางกับเวลา นาฬิกาแสงแสดงที่มาของตัวประกอบ γ

เวลาในกรอบพักวัดด้วยนาฬิกาที่อยู่ ณ เหตุการณ์ทั้งสอง ส่วนความยาวแท่งที่เคลื่อนที่วัดจากการบันทึกปลายทั้งสองพร้อมกันในกรอบที่เลือก

มวลนิ่งไม่แปรเปลี่ยน ต้องแยกปริมาณแบบเดิม γm₀ ออกจากมวลที่ใช้ในนิยามปัจจุบัน

ต่อไปเราจะใช้พลังงานและโมเมนตัมอธิบายควอนตัมของแสง