Релятивистские эффекты

Пусть между двумя зеркалами тикают световые часы: один тик — путь импульса туда и обратно. Для пассажира свет идёт вертикально, для внешнего наблюдателя ещё и вдоль движения корабля. Если оба измеряют одну скорость c, одинаковым ли будет время между тиками?

В равномерно движущемся без вращения корабле свободное тело сохраняет скорость по прямой, как и в другой инерциальной системе. Принцип относительности утверждает одинаковость законов физики во всех таких системах. Ни Земля, ни корабль не выделены названием или ощущением «настоящего покоя». Сравнивать нужно конкретных наблюдателей и процедуры измерения. Ускоряющийся корабль уже не удовлетворяет этой простой инерциальной модели.

В специальной теории относительности все инерциальные наблюдатели измеряют одну скорость света в вакууме c≈3·10⁸ м/с, независимо от движения источника. К свету нельзя без изменения применить знакомое сложение c+v. У световых часов внешний наблюдатель получает более длинный наклонный путь импульса при той же скорости света, значит и больший промежуток между тиками. Далее относительная скорость систем постоянна и v<c.

Из геометрии наклонного пути получается множитель \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}. В прямоугольном треугольнике половины хода гипотенуза равна cτ/2, горизонтальный катет vτ/2, а вертикальный cτ₀/2; теорема Пифагора даёт τ=γτ₀. γ безразмерен и не меньше единицы. При v=0 он равен 1, при v≪c почти равен 1. Приближение к c резко увеличивает его: привычная механика перестаёт давать точный результат.

Что означает τ₀ в этом построении? Это собственное время между событиями, измеряемое часами, рядом с которыми происходят оба события. Два тика корабельных часов происходят в одной точке системы корабля; эти часы показывают τ₀. Во внешней системе часы за интервал переместились, и события имеют разные координаты. Поэтому сначала выбирают одну пару событий и только затем определяют, какой из интервалов собственный.

Для этой пары событий \tau=\gamma\tau_0=\tau_0/\sqrt{1-v^2/c^2}, оба времени в секундах. В системе, где часы движутся, между их тиками проходит больший координатный интервал. Это измерение с согласованными часами системы, а не простая задержка картинки из-за расстояния до наблюдателя. Если поменять роли инерциальных систем, каждая может описывать замедление чужих часов; сравнения одновременности удалённых событий у них различаются.

С длиной сначала тоже нужна процедура. Собственная длина l₀ измеряется в системе покоя стержня. В другой системе отмечают положения обоих его концов одновременно по часам этой системы и вычитают координаты. Если передний конец отметить сейчас, задний позже, стержень успеет переместиться и получится не его длина в один момент. Одновременность удалённых событий зависит от системы, поэтому два измерения не используют одну и ту же пару событий на концах.

Для длины вдоль относительного движения получается l=l_0/\gamma=l_0\sqrt{1-v^2/c^2}. В метрах l≤l₀; при v=0 длины совпадают, при росте v продольное измерение уменьшается. Поперечные размеры этим правилом не сокращаются. Это не механическое сдавливание стержня: в его собственной системе он прежней длины. Изменяется результат одновременной фиксации концов в другой системе; фотография с временем прихода света — ещё отдельная процедура.

Масса покоя m₀ в килограммах характеризует тело и не меняется только из-за выбора наблюдателя. В современной записи её обычно называют просто массой. При разгоне увеличиваются энергия и импульс, для которых существенен релятивистский множитель; это не прибавление вещества телу. Сравнивать массы нужно при том же внутреннем состоянии: нагрев или изменение запасённой энергии — другой физический процесс, не простой переход к движущемуся наблюдателю.

В некоторых задачах встречается историческое соглашение m=\gamma m_0=m_0/\sqrt{1-v^2/c^2} — «релятивистская масса». Она выражена в килограммах, но зависит от системы и отличается от неизменной m₀. При v→0 обе совпадают; с ростом v увеличивается m в этом соглашении. Формулу используют, если такое обозначение явно задано. Иначе удобнее описывать изменение через энергию и импульс, не называя зависимую от скорости величину массой.

Корабельные часы отмерили между двумя тиками 4 с. Корабль движется относительно Земли с v=0,6c. Какой интервал между этими событиями измерит земная инерциальная система?

Оба события — тики одних корабельных часов. В системе корабля они происходят в одном месте, поэтому τ₀ = 4 с — собственный интервал.

γ = 1/√(1 − 0,6²) = 1/√0,64 = 1/0,8 = 1,25.

Для той же пары событий в земной инерциальной системе τ = γτ₀ = 1,25 × 4 = 5 с.

Пять секунд больше четырёх: движение увеличивает измеренный внешний интервал между тиками. Это не время ожидания светового сигнала на одном земном наблюдательном пункте.

τ = 5 с в земной инерциальной системе. За этот интервал собственные корабельные часы отмерят 4 с между выбранными тиками.

Постоянство скорости света связывает измерения расстояний и времени; световые часы показывают происхождение множителя γ.

Собственное время измеряют часы при обоих событиях, а длину движущегося стержня — по одновременным отметкам его концов в выбранной системе.

Масса покоя инвариантна; историческую величину γm₀ нужно отличать от массы в современной записи.

Далее используем энергию и импульс в описании квантов света.