การสั่นแบบฮาร์มอนิก แบบหน่วง และแบบบังคับ

แรงผลักเล็ก ๆ ทำให้ชิงช้าแกว่งกว้างได้ แต่แรงผลักผิดจังหวะกลับทำให้ช้าลง จังหวะของแรงเปลี่ยนการถ่ายโอนพลังงานอย่างไร และเหตุใดการสั่นจริงจึงอ่อนลงเมื่อไม่มีแรงผลักเพิ่ม

มวลที่ติดสปริงอุดมคติช้าลงอย่างนุ่มนวลใกล้ปลายสุดและผ่านตรงกลางเร็ว การเคลื่อนที่นี้อธิบายด้วยไซน์หรือโคไซน์ การสั่นที่มีแอมพลิจูดกับความถี่คงที่และการกระจัดเป็นไปตามสมการนี้เรียกว่าการสั่นแบบฮาร์มอนิก สปริงอุดมคติและลูกตุ้มมุมเล็กมีพฤติกรรมใกล้เคียงนี้เมื่อการสูญเสียน้อย การเคลื่อนที่เป็นคาบไม่ได้มีรูปแบบนี้ทุกชนิด

ลูกตุ้มเหมือนกันสองชุดอาจมีคาบเท่ากัน แต่ชุดหนึ่งอยู่ขวาขณะที่อีกชุดอยู่ซ้าย การทำนายตำแหน่งจึงต้องรู้เฟส φ ซึ่งบอกช่วงของรอบด้วย เฟสมีหน่วยเรเดียน หนึ่งรอบเต็มทำให้เฟสเปลี่ยน 2π เฟสบอกทั้งการกระจัดและทิศการเคลื่อนที่ภายในรอบ เมื่อเพิ่ม 2π สภาพจะซ้ำเดิมเหมือนเข็มนาฬิกาหมุนครบหนึ่งรอบ

ในหนึ่งคาบ T เฟสเพิ่ม 2π อัตราการเปลี่ยนเฟสจึงเป็น ω = 2π/T = 2πν เรียกว่าความถี่เชิงมุม หน่วย rad/s ความถี่ ν นับรอบต่อวินาที ส่วน ω นับเรเดียนของเฟสต่อวินาที การเพิ่ม ν สองเท่าทำให้ ω สองเท่าและ T เหลือครึ่งหนึ่ง ค่าตัวเลขต่างกันด้วยตัวคูณ 2π จึงไม่ควรแทนเฮิรตซ์ลงแทนเรเดียนต่อวินาทีโดยไม่ตรวจสัญลักษณ์ในสูตร

รวมคำอธิบายได้เป็น x = A cos(ωt + φ₀) โคไซน์เปลี่ยนซ้ำระหว่าง −1 กับ +1 และ A ขยายเป็นการกระจัดจาก −A ถึง +A หน่วยเมตร ω กำหนดจังหวะการซ้ำ t มีหน่วยวินาที และ φ₀ กำหนดสภาพเริ่มต้น เฟสปัจจุบันคือ ωt + φ₀ ไม่ใช่ φ₀ เพียงอย่างเดียว เมื่อเพิ่ม A กราฟยืดในแนวตั้ง เมื่อเพิ่ม ω กราฟบีบในแนวเวลา

ตรวจจากการปล่อยที่คุ้นเคย ดึงมวลไปที่ +A แล้วปล่อยโดยไม่ผลัก จะได้ φ₀ = 0 เพราะ cos 0 = 1 หลัง T/4 เฟสเป็น π/2 และ x = 0 หลัง T/2 เฟสเป็น π และ x = −A ค่า x = 0 เกิดสองครั้งต่อรอบแต่มีทิศการเคลื่อนที่ตรงข้าม ต้องเลือกเฟสต้นจากสภาพเริ่มต้นทั้งหมด ไม่ใช่จากพิกัดค่าเดียว

ชิงช้าจริงหยุดลงในที่สุดแม้ไม่ได้ตั้งใจเบรก แรงต้านทำงานลบ เปลี่ยนพลังงานกลบางส่วนเป็นพลังงานภายในของวัตถุและอากาศ การสั่นอิสระที่เริ่มด้วยการดึงหรือผลักครั้งเดียวจึงเป็นการสั่นแบบหน่วง แอมพลิจูดลดลง หากตัดการสูญเสียออกในแบบจำลอง แอมพลิจูดจะไม่ลด สูตรที่มี A คงที่ค่าเดียวจึงอธิบายการสั่นแบบหน่วงทั้งหมดอย่างแม่นยำไม่ได้

เพื่อไม่ให้ชิงช้าหยุด ให้พลังงานเป็นคาบ จะเกิดการสั่นแบบบังคับ ความถี่ธรรมชาติบอกลักษณะการสั่นอิสระของระบบ ส่วนแหล่งกำเนิดเลือกความถี่แรงขับ สำหรับระบบเชิงเส้นที่รับแรงไซน์ เมื่อการสั่นชั่วคราวช่วงต้นลดลงแล้ว การสั่นคงตัวมีความถี่เท่ากับแรง ความถี่สองชนิดนี้อาจต่างกัน และการตอบสนองขึ้นกับว่าใกล้กันเพียงใด

ลองผลักชิงช้าด้วยจังหวะต่างกัน เมื่อสูญเสียน้อย แอมพลิจูดจะมากเป็นพิเศษหากความถี่แรงขับใกล้ความถี่ธรรมชาติ เพราะถ่ายโอนพลังงานได้ดีจากรอบหนึ่งสู่อีกรอบ การตอบสนองที่เพิ่มขึ้นนี้เรียกว่าการสั่นพ้อง ความถี่ไม่ได้สร้างพลังงาน คนผลักเป็นผู้ทำงาน แบบจำลองอุดมคติไร้การสูญเสียให้แอมพลิจูดเพิ่มได้ แต่ในระบบจริง การเพิ่มนี้เปลี่ยนสมดุลระหว่างพลังงานเข้าและพลังงานที่สูญเสีย

เหตุใดชิงช้าจริงจึงไม่มีแอมพลิจูดอนันต์ เมื่อการเคลื่อนที่มากขึ้น แรงเสียดทานและแรงต้านจำกัดการตอบสนอง และเงื่อนไขเชิงเส้นอาจใช้ไม่ได้ อุปกรณ์หน่วงสลายพลังงานกลและลดการสั่นพ้องของเครื่องจักร ส่วนเครื่องดนตรีได้ประโยชน์จากการตอบสนองที่มากขึ้นในช่วงความถี่ที่ต้องการ กลไกเดียวกันให้ผลต่างกันตามพารามิเตอร์ระบบ ความถี่แรงขับ และการสูญเสีย

มวลสั่นตาม x = 0,04 cos(πt) โดย x หน่วยเมตรและ t หน่วยวินาที จงหาแอมพลิจูด คาบ และ x หลัง 1 s

เปรียบเทียบ x = 0,04 cos(πt) กับ x = A cos(ωt + φ₀) สัมประสิทธิ์หน้าโคไซน์ให้ A = 0,04 м = 4 см; ω = π рад/с, φ₀ = 0.

เฟสเพิ่มครบหนึ่งรอบ 2π ใช้เวลา T = 2π/ω = 2 с ดังนั้น 1 s คือครึ่งคาบ

x(1) = 0,04 cos π = −0,04 м = −4 см.

มวลเริ่มที่ปลายขวา +A และถึงปลายซ้าย −A หลังครึ่งรอบ สอดคล้องกับพิกัดที่คำนวณได้ ซึ่งมีขนาดไม่เกินแอมพลิจูด

A = 4 см, T = 2 с, x(1 с) = −4 см ในหนึ่งวินาที มวลเคลื่อนจากตำแหน่งปลายบวกไปถึงปลายตรงข้าม

สมการฮาร์มอนิกแยกแอมพลิจูด A อัตรา ω และสภาพต้น φ₀ ออกจากกัน เฟสปัจจุบันเปลี่ยนตามเวลา

การหน่วงถ่ายโอนพลังงานกลไปเป็นรูปอื่น การรักษาการเคลื่อนที่จึงต้องมีพลังงานเข้า

การสั่นพ้องเพิ่มการตอบสนองต่อแรงภายนอกที่ความถี่เหมาะสม โดยพลังงานยังมาจากภายนอก

เมื่อการสั่นส่งต่อไปยังส่วนข้างเคียง จะเกิดคลื่น