Гармонические, затухающие и вынужденные колебания

Небольшими толчками можно сильно раскачать качели, а несвоевременным толчком — затормозить. Как ритм воздействия меняет передачу энергии и почему реальные колебания без новых толчков ослабевают?

Наблюдая идеальный груз на пружине, заметим плавное замедление у краёв и быстрое прохождение середины. Такое движение описывает синус или косинус. Колебания с постоянными амплитудой и частотой, в которых отклонение меняется по этому закону, называют гармоническими. Так приближённо ведут себя идеальная пружина и маятник при малых отклонениях без заметных потерь. Не всякое периодическое движение обязательно имеет эту форму.

Два одинаковых маятника могут колебаться с одним периодом, но один будет справа, пока другой слева. Для предсказания положения нужен ещё «момент внутри цикла» — фаза φ. Её измеряют в радианах; один полный цикл соответствует изменению на 2π. Фаза учитывает не только отклонение, но и направление движения в цикле. После прибавления 2π состояние повторяется, как показание циферблата после полного оборота.

За период T фаза увеличивается на 2π. Значит, скорость её изменения ω = 2π/T = 2πν — циклическая частота в рад/с. Частота ν считает циклы за секунду, ω считает радианы фазы за секунду. Удвоение ν удваивает ω и уменьшает T вдвое. Числа ω и ν различаются множителем 2π, поэтому нельзя подставлять герцы вместо радиан в секунду в формулу, не проверив обозначение.

Теперь соберём описание: x = A cos(ωt + φ₀). Косинус задаёт повторяющийся ход от −1 до +1, A масштабирует его до отклонений от −A до +A в метрах. ω определяет быстроту повторения, t измеряется в секундах, φ₀ задаёт начальное состояние. Текущая фаза равна ωt + φ₀, а не одной φ₀. Увеличение A растягивает график по высоте; увеличение ω сжимает его по времени.

Проверим закон на знакомом запуске: оттянем груз до +A и отпустим без толчка. Для него φ₀ = 0, поскольку cos 0 = 1. Через T/4 фаза π/2 и x = 0; через T/2 фаза π и x = −A. Одинаковое x = 0 встречается дважды за цикл, но направления движения разные. Поэтому начальную фазу выбирают по полному стартовому состоянию, а не только по одному значению координаты.

Реальные качели со временем останавливаются даже без намеренного торможения. Сопротивление совершает отрицательную работу, и часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию тел и воздуха. Свободные колебания, начатые одним отклонением или толчком, становятся затухающими: амплитуда уменьшается. Если мысленно убрать потери, она перестанет убывать. Формула с одной постоянной A не может точно описывать всё затухающее движение.

Чтобы качели не затихали, будем периодически передавать им энергию. Возникают вынужденные колебания. Собственная частота характеризует свободное движение системы, а частоту внешнего воздействия выбирает источник. У линейной системы при синусоидальной силе после затухания начальных переходных колебаний установившееся движение имеет частоту силы. Эти два ритма могут различаться; отклик зависит от того, насколько они близки.

Пробуй подталкивать качели в разных ритмах. При слабых потерях особенно большая амплитуда возникает, когда частота воздействия близка к собственной: передача энергии от цикла к циклу оказывается эффективной. Такое усиление отклика называют резонансом. Частоты не создают энергию сами: работу совершает тот, кто толкает. Без потерь идеальная модель допускает рост, но в реальной системе рост изменяет баланс поступления и расхода энергии.

Почему нельзя ждать бесконечной амплитуды реальных качелей? С ростом движения потери от трения и сопротивления ограничивают отклик; могут нарушиться и условия линейной модели. Демпфер — устройство, рассеивающее механическую энергию, — ослабляет резонансную вибрацию машин. В музыкальном инструменте усиленный отклик в нужном диапазоне полезен. Здесь один механизм даёт разные последствия: решают параметры системы, внешняя частота и потери.

Груз колеблется по x = 0,04 cos(πt), где x в метрах, t в секундах. Найдите амплитуду, период и x через 1 с.

Сравним x = 0,04 cos(πt) с x = A cos(ωt + φ₀). Коэффициент перед косинусом даёт A = 0,04 м = 4 см; ω = π рад/с, φ₀ = 0.

Чтобы фаза выросла на полный цикл 2π, нужно T = 2π/ω = 2 с. Значит, 1 с — половина периода.

x(1) = 0,04 cos π = −0,04 м = −4 см.

В начале груз был на правом краю +A, через половину цикла пришёл на левый −A. Это согласуется с найденной координатой и не превышает амплитуду по модулю.

A = 4 см, T = 2 с, x(1 с) = −4 см. За одну секунду груз дошёл от положительного крайнего положения до противоположного.

Гармонический закон разделяет амплитуду A, ритм ω и стартовое состояние φ₀; текущая фаза меняется со временем.

Затухание означает передачу механической энергии другим формам, а поддержание движения требует её притока.

Резонанс усиливает отклик на внешнюю силу при подходящей частоте; источник энергии остаётся внешним.

Если колебания передаются соседям, возникает волна.