โมเมนตัมและการอนุรักษ์

รถเข็นสองคันชนกัน ติดกัน แล้วเคลื่อนที่ไปด้วยกัน แรงขณะชนเปลี่ยนอย่างรวดเร็วและเราไม่ได้วัดแรงนั้น เรายังหาความเร็วร่วมได้หรือไม่ ลองหาปริมาณที่รถเข็นถ่ายโอนให้กันระหว่างมีปฏิสัมพันธ์

รถเข็นที่มีมวลมากหยุดได้ยากกว่ารถเข็นที่มีมวลน้อยซึ่งเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเท่ากัน และรถเข็นคันเดิมก็หยุดได้ยากขึ้นเมื่อเคลื่อนที่เร็วขึ้น เราจึงต้องการปริมาณที่รวมทั้งสองปัจจัย ในกลศาสตร์คลาสสิก โมเมนตัมของวัตถุคือ \vec p=m\vec v มีหน่วย kg·m/s เมื่อเพิ่มมวลหรือความเร็วเป็นสองเท่าโดยคงอีกปัจจัยไว้ โมเมนตัมจะเพิ่มเป็นสองเท่า วัตถุที่อยู่นิ่งมีโมเมนตัมเป็นศูนย์ ความหมายของปริมาณนี้จะชัดขึ้นเมื่อพิจารณาว่าแรงทำให้มันเปลี่ยนอย่างไร

รถเข็นที่เหมือนกันสองคันเคลื่อนเข้าหากันด้วยอัตราเร็วเท่ากัน แต่ละคันมีโมเมนตัมไม่เป็นศูนย์ แต่ผลบวกเวกเตอร์เป็นศูนย์เพราะมีทิศตรงข้ามกัน หากเคลื่อนไปทางเดียวกัน ผลรวมจะเป็นสองเท่าของโมเมนตัมรถเข็นคันเดียว ดังนั้นจะหาโมเมนตัมของระบบด้วยการบวกขนาดอย่างเดียวไม่ได้ ผลรวมเป็นศูนย์ไม่ได้หมายความว่าภายในระบบไม่มีการเคลื่อนที่ แต่บอกว่าโมเมนตัมที่มีทิศต่างกันหักล้างกัน

ลูกบอลชนกำแพงแล้วกระเด้งกลับด้วยอัตราเร็วเท่าเดิม โมเมนตัมเปลี่ยนหรือไม่ เปลี่ยน เพราะถ้าก่อนชน p_x=mv และหลังชน p'_x=-mv จะได้ \Delta p_x=-2mv หากเพียงหยุดลูกบอล การเปลี่ยนแปลงจะมีขนาดเพียงครึ่งหนึ่ง ในที่นี้ \Delta\vec p=\vec p'-\vec p ระยะเวลาสัมผัสคือ \Delta t มีหน่วยวินาที และแรงลัพธ์เฉลี่ยคือ \vec F_{\text{ср}} มีหน่วยนิวตัน การลบเวกเตอร์เก็บข้อมูลการกลับทิศไว้ด้วย

เมื่อมวลคงตัว กฎของนิวตันเชื่อมโยงแรงกับการเปลี่ยนความเร็วและจึงเชื่อมโยงกับการเปลี่ยนโมเมนตัม ระหว่างสัมผัส \vec F_{\text{ср}}\Delta t=\Delta\vec p ผลคูณนี้เรียกว่าการดล ดังนั้น \vec F_{\text{ср}}=\Delta\vec p/\Delta t หากใช้เวลาหยุดแบบเดิมนานขึ้นเป็นสองเท่า แรงเฉลี่ยจะลดเหลือครึ่งหนึ่ง เบาะนุ่มช่วยได้ด้วยเหตุนี้ ข้อสรุปนี้กล่าวถึงแรงเฉลี่ย ไม่ใช่แรงสูงสุด ค่าเฉลี่ยเพียงค่าเดียวไม่ได้กำหนดรูปร่างของยอดแรงกระแทกช่วงสั้น ๆ

เลือกรถเข็นทั้งสองคันเป็นระบบเดียว ระหว่างชน แรงที่กระทำต่อกันมีขนาดเท่ากันทิศตรงข้าม กระทำเป็นเวลานานเท่ากัน และทำให้โมเมนตัมเปลี่ยนไปตรงข้ามกัน เมื่อรวมกันจึงหักล้างกัน แรงภายนอก เช่น แรงเสียดทานกับราง สามารถเปลี่ยนโมเมนตัมรวมได้ หากการดลลัพธ์จากภายนอกในช่วงชนสั้น ๆ มีค่าน้อย โมเมนตัมรวมจะอนุรักษ์โดยประมาณ องค์ประกอบแนวราบยังอนุรักษ์ได้เมื่อมีแรงในแนวดิ่งที่สมดุลกัน

เพื่อไม่ให้สับสนระหว่างเวลา ให้วาดระบบเดียวกันสองสภาวะ คือก่อนชนและหลังชนทันที มวล m_1,m_2 คงเดิม กำหนดความเร็วก่อนมีปฏิสัมพันธ์เป็น \vec v_1,\vec v_2 และหลังจากนั้นเป็น \vec v'_1,\vec v'_2 เครื่องหมายไพรม์ระบุสภาวะใหม่ และความเร็วทั้งหมดวัดในกรอบอ้างอิงเดียวกันที่เลือกไว้ หากวัตถุติดกัน ความเร็วสุดท้ายจะเท่ากัน แต่ถ้าไม่ติดกันจะสมมติให้เท่ากันล่วงหน้าไม่ได้

เมื่อการดลจากภายนอกน้อยจนละเลยได้ สมดุลเขียนเป็น m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec v'_1+m_2\vec v'_2 ในโจทย์หนึ่งมิติให้ใส่เครื่องหมายขององค์ประกอบตามแกน เมื่อวัตถุที่เคลื่อนที่ชนติดกับวัตถุที่อยู่นิ่ง v'=m_1v_1/(m_1+m_2) โมเมนตัมรวมเท่าเดิมเป็นของมวลที่มากขึ้น อัตราเร็วจึงลดลง หากวัตถุที่สองมีมวลมากมาก อัตราเร็วร่วมจะใกล้ศูนย์ สมการนี้เพียงอย่างเดียวไม่ได้บอกว่าพลังงานกลอนุรักษ์หรือไม่

รถเข็นมวล 2 kg เคลื่อนที่ไปทางขวาด้วยอัตราเร็ว 3 m/s แล้วชนติดกับรถเข็นมวล 1 kg ที่อยู่นิ่ง ละเลยการดลภายนอกในแนวราบ จงหาความเร็วร่วม

ระบบประกอบด้วยรถเข็นทั้งสองคัน เลือกทิศขวาเป็นบวก การดลภายนอกมีค่าน้อย โมเมนตัมรวมจึงอนุรักษ์

ก่อนชน p=2×3+1×0=6 кг·м/с

หลังชนติดกัน มวลเป็น 3 kg และมีความเร็วร่วม: 3v=6 ดังนั้น v=2 м/с

ตรวจสอบ: รถเข็นทั้งสองเคลื่อนไปทางเดิม แต่ช้ากว่ารถเข็นคันแรกก่อนชน โมเมนตัม 3×2 ยังเท่ากับ 6

ความเร็วร่วมคือ 2 m/s ไปทางขวา โมเมนตัมรวม 6 kg·m/s ตอนนี้เป็นของมวล 3 kg แทนมวล 2 kg ที่เคลื่อนที่ก่อนชน อัตราเร็วร่วมจึงน้อยกว่าค่าเริ่มต้น 3 m/s

โมเมนตัมเชื่อมโยงมวลกับขนาดและทิศของความเร็ว ต้องบวกเวกเตอร์โมเมนตัม ไม่ใช่เพียงขนาดที่เป็นบวก

ปฏิสัมพันธ์ภายในถ่ายโอนโมเมนตัมระหว่างวัตถุ ส่วนการดลภายนอกเปลี่ยนโมเมนตัมรวม

เมื่อโมเมนตัมเปลี่ยนเท่ากัน การสัมผัสนานขึ้นหมายถึงแรงเฉลี่ยน้อยลง การอนุรักษ์โมเมนตัมไม่ได้หมายความว่าพลังงานกลอนุรักษ์ด้วย

ต่อไปเราจะแยกแยะการอนุรักษ์โมเมนตัมกับการอนุรักษ์พลังงานกล