Импульс и его сохранение

Две тележки сцепились после столкновения и покатились вместе. Сила удара быстро менялась, а мы её не измеряли. Можно ли всё же найти общую скорость? Поищем величину, которую тележки передают друг другу при взаимодействии.

Тяжёлую тележку труднее остановить, чем лёгкую с той же скоростью; ту же тележку труднее остановить, если она быстрее. Нужна величина, учитывающая оба фактора. В классической механике импульс тела \vec p=m\vec v, единица — кг·м/с. Удвоение массы или скорости удваивает импульс при неизменном другом факторе. При покое импульс нулевой. Смысл этой величины раскроется в том, как она меняется под действием силы.

Две одинаковые тележки едут навстречу с одинаковыми модулями скорости. Каждая имеет ненулевой импульс, но их векторная сумма равна нулю: направления противоположны. Если они едут в одну сторону, сумма вдвое больше импульса одной. Поэтому импульс системы нельзя находить простым сложением модулей. Нулевая сумма не означает отсутствия движения внутри системы — она сообщает о балансе направленных импульсов.

Мяч ударился о стену и отскочил с прежним модулем скорости. Изменился ли импульс? Да: если до удара p_x=mv, а после p'_x=-mv, то \Delta p_x=-2mv. При простой остановке изменение было бы вдвое меньше. Здесь \Delta\vec p=\vec p'-\vec p, длительность контакта — \Delta t в секундах, средняя равнодействующая — \vec F_{\text{ср}} в ньютонах. Вычитание векторов сохраняет информацию о развороте.

Для постоянной массы закон Ньютона связывает силу с изменением скорости, а значит, и импульса. За время контакта \vec F_{\text{ср}}\Delta t=\Delta\vec p; произведение называют импульсом силы. Поэтому \vec F_{\text{ср}}=\Delta\vec p/\Delta t. Увеличив время одинаковой остановки вдвое, уменьшим среднюю силу вдвое: так помогает мягкая подушка. Это вывод о средней силе, не о её максимуме; форму короткого пика удара одно среднее не определяет.

Объединим обе тележки в систему. Во время удара их взаимные силы равны и противоположны, действуют одно и то же время и создают противоположные изменения импульсов. При сложении они сокращаются. Изменить полный импульс могут внешние силы — например, трение о путь. Если их суммарный импульс за короткое столкновение мал, полный импульс сохраняется приближённо. Горизонтальную проекцию можно сохранять и при наличии уравновешенных вертикальных сил.

Чтобы не смешать моменты, нарисуем два состояния одной системы: непосредственно перед ударом и после него. Массы m_1,m_2 те же; скорости до взаимодействия обозначим \vec v_1,\vec v_2, после — \vec v'_1,\vec v'_2. Штрих обозначает новое состояние, а все скорости измеряются в одной выбранной системе отсчёта. Если тела сцепились, у них одна конечная скорость; без сцепления заранее приравнивать её нельзя.

Теперь баланс записывается m_1\vec v_1+m_2\vec v_2=m_1\vec v'_1+m_2\vec v'_2 при пренебрежимо малом внешнем импульсе. В одномерной задаче ставим знаки проекций. При сцеплении с неподвижным телом v'=m_1v_1/(m_1+m_2): тот же суммарный импульс приходится на большую массу, поэтому скорость меньше. Если второе тело очень массивно, общая скорость близка к нулю. О сохранении механической энергии это уравнение само по себе ничего не говорит.

Тележка 2 кг движется вправо со скоростью 3 м/с и сцепляется с неподвижной тележкой 1 кг. Внешним горизонтальным импульсом пренебречь. Найдите общую скорость.

Система — обе тележки, положительное направление вправо. Внешний импульс мал, значит сохраняется полный импульс.

До удара p=2×3+1×0=6 кг·м/с.

После сцепления масса 3 кг, скорость общая: 3v=6, поэтому v=2 м/с.

Проверка: обе тележки движутся в исходном направлении, но медленнее первой; импульс 3×2 снова равен 6.

Общая скорость 2 м/с вправо. Суммарный импульс 6 кг·м/с теперь приходится на 3 кг вместо движущихся прежде 2 кг; поэтому общая скорость меньше исходных 3 м/с.

Импульс связывает массу с направлением и величиной скорости; складывают его векторы, а не только положительные модули.

Внутренние взаимодействия перераспределяют импульс между телами, а его полную сумму меняет внешний импульс.

Для одинакового изменения импульса более долгий контакт означает меньшую среднюю силу; сохранение импульса ещё не означает сохранения механической энергии.

Далее различим сохранение импульса и сохранение механической энергии.