แรงโน้มถ่วง ความยืดหยุ่น น้ำหนัก และแรงเสียดทาน

เครื่องชั่งในลิฟต์ที่กำลังชะลออ่านค่าได้มากขึ้น ทั้งที่คนไม่ได้กินอะไรเพิ่มและยังมีมวลเท่าเดิม เราจะทำความเข้าใจค่านี้โดยแยกว่าโลก สปริง พื้น และคน ออกแรงต่อสิ่งใดบ้าง

เหตุใดแอปเปิลจึงตกเข้าหาโลก แต่โลกดูเหมือนไม่ตอบสนอง แรงโน้มถ่วงเป็นแรงดึงดูดซึ่งกันและกัน วัตถุที่มีมวลดึงดูดกันด้วยแรงขนาดเท่ากัน กฎ F = Gm₁m₂/r² แสดงว่าขนาดแรงขึ้นกับมวลทั้งสองและระยะห่างอย่างไร โลกมีความเร่งน้อยจนแทบสังเกตไม่ได้เพราะมีมวลมหาศาล รูปสมการนี้ใช้กับอนุภาคจุดหรือวัตถุที่มีสมมาตรทรงกลมและไม่ซ้อนทับกัน จึงไม่อาจแทนก้อนหินรูปร่างใด ๆ ที่อยู่ใกล้ด้วยทรงกลมโดยไม่ตรวจสอบก่อน

ลองนึกภาพแยกทรงกลมสองลูกให้มีระยะห่างเป็นสองเท่า แรงจะเหลือหนึ่งในสี่ เพราะสิ่งที่สำคัญคือกำลังสองของระยะ r ระหว่างจุดศูนย์กลาง ไม่ใช่ช่องว่างระหว่างผิว ส่วนการเพิ่มมวลลูกใดลูกหนึ่งเป็นสองเท่าจะทำให้แรงเป็นสองเท่า ในระบบ SI ใช้มวลหน่วยกิโลกรัมและ r หน่วยเมตร โดย G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг² ค่าคงตัวสากลนี้กำหนดความแรงของแรงโน้มถ่วง ไม่ใช่ความเร่ง g ณ บริเวณนั้น และไม่เปลี่ยนเมื่อย้ายการทดลองไปดาวเคราะห์ดวงอื่น

แรงโน้มถ่วงเกี่ยวข้องกับความเร่งของการตกที่วัดได้อย่างไร ใกล้ผิวดาวเคราะห์ แรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อวัตถุคือ Fтяж = mg เมื่อมวลเพิ่มเป็นสองเท่า แรงก็เพิ่มเป็นสองเท่า แต่ความเฉื่อยเพิ่มเป็นสองเท่าด้วย จึงยังได้ a = Fтяж/m = g เท่าเดิม บนโลก g มีค่าประมาณ 9.8 m/s² เมื่อไปดาวเคราะห์ดวงอื่น g และแรงโน้มถ่วงเปลี่ยน แต่มวลคงเดิม เราถือว่า g คงที่ได้ในบริเวณที่มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับรัศมีดาวเคราะห์

เมื่อแขวนวัตถุกับสปริง สปริงจะยืดและดึงวัตถุกลับ การเปลี่ยนรูปทำให้ส่วนต่าง ๆ ของสปริงเปลี่ยนตำแหน่งสัมพัทธ์กัน ส่วนแรงยืดหยุ่นพยายามให้สปริงคืนรูป ระยะยืด Δl คือความยาวใหม่ลบความยาวเดิม มีหน่วยเมตร เมื่ออัดสปริงค่านี้เป็นลบ จึงใช้ |Δl| ในความสัมพันธ์ของขนาดแรง ต้องหาทิศทางแยกต่างหาก สปริงที่ยืดจะดึงเพื่อคืนความยาว ส่วนสปริงที่ถูกอัดจะผลัก

แขวนวัตถุชิ้นเล็กที่เหมือนกันกับสปริงเดียวกันเพิ่มทีละชิ้น ในช่วงที่ใช้แบบจำลองเชิงเส้นได้ เมื่อแรงกระทำเพิ่มเป็นสองเท่า ระยะเปลี่ยนรูปก็เพิ่มเป็นสองเท่า: Fупр = k|Δl| ค่าคงตัวสปริง k หน่วย N/m บอกแรงต่อการเปลี่ยนความยาวหนึ่งเมตร เมื่อยืดเท่ากัน สปริงที่แข็งกว่าจะออกแรงมากกว่า บนกราฟ Fупр เทียบกับ |Δl| ค่า k คือความชันของเส้นตรง และเมื่อไม่มีการเปลี่ยนรูป แบบจำลองนี้ให้แรงเป็นศูนย์

เรายืดสปริงต่อไปเรื่อย ๆ ตามเส้นตรงเดิมบนกราฟได้หรือไม่ ไม่ได้ เพราะกฎของฮุคอธิบายได้เฉพาะช่วงเชิงเส้นที่จำกัด ความยืดหยุ่นหมายถึงการคืนรูปเมื่อเอาแรงออก แต่พฤติกรรมยืดหยุ่นไม่จำเป็นต้องเป็นเชิงเส้นทุกช่วงการเปลี่ยนรูป หากยืดมากเกินไป ความเป็นสัดส่วนจะสิ้นสุดลง และสปริงที่เสียหายอาจไม่คืนรูป ก่อนใช้ k จึงต้องตรวจสอบทั้งวัสดุและช่วงแรงที่กระทำ

หนังสือที่ไถลบนโต๊ะช้าลง เพราะผิวทั้งสองออกแรงต่อกันตามแนวสัมผัส แรงเสียดทานจลน์มีทิศต้านการไถลสัมพัทธ์ของผิว แบบจำลองโดยประมาณ Fтр = μN เชื่อมขนาดแรงนี้กับแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก N ซึ่งตั้งฉากกับผิว โดย μ ไม่มีมิติ ภายในแบบจำลองนี้ การเพิ่ม N เป็นสองเท่าโดยทั่วไปทำให้แรงเสียดทานเป็นสองเท่า N ไม่ได้เท่ากับ mg เสมอไป แรงกดเพิ่มเติมหรือความเร่งของพื้นรองรับทำให้แรงปฏิกิริยาเปลี่ยนได้

ลองผลักตู้เบา ๆ แล้วเพิ่มแรง ขณะที่ตู้ยังอยู่นิ่ง แรงลัพธ์ในแนวราบเป็นศูนย์ แรงเสียดทานสถิตปรับตามแรงผลัก เมื่อผลัก 10 N แรงเสียดทานอาจมีขนาด 10 N ในทิศตรงข้าม และเมื่อไม่มีแรงกระทำในแนวราบก็อาจเป็นศูนย์ได้ แรงนี้จะถึงค่าสูงสุดซึ่งอธิบายด้วยสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตและ N เฉพาะเมื่อกำลังจะเริ่มไถล ดังนั้นคำว่าแรงเสียดทานเท่ากับ μN เสมอจึงมองข้ามความแตกต่างสำคัญระหว่างการอยู่นิ่งกับการไถล

คนกดเครื่องชั่ง และเครื่องชั่งกดกลับที่คน ในบทนี้ น้ำหนัก P หมายถึงแรงที่วัตถุกระทำต่อพื้นรองรับหรือสิ่งแขวน มีหน่วยนิวตัน แรงปฏิกิริยาตั้งฉาก N กระทำกลับต่อคน แรงสัมผัสสองแรงนี้เป็นคู่ตามกฎข้อที่สามของนิวตัน ส่วนแรงโน้มถ่วง mg เป็นอีกแรงหนึ่งที่โลกกระทำต่อคน แม้ P และ mg จะมีขนาดเท่ากัน แต่กระทำต่อวัตถุคนละชิ้น ค่าที่เครื่องชั่งอ่านได้จึงสะท้อนแรงสัมผัส ไม่ใช่การวัดมวลหรือแรงโน้มถ่วงโดยตรง

เพื่อให้คนมีความเร่งขึ้น พื้นรองรับต้องทั้งสมดุลกับแรงโน้มถ่วงและให้แรงส่วนเกินขึ้นด้านบน เมื่อกำหนดแกนบวกขึ้น ได้ N − mg = ma ดังนั้นขนาดน้ำหนักคือ P = N = m(g + a) โดย a เป็นขนาดความเร่งขึ้น เมื่อ a = 0 จะได้ mg และเมื่อ a เพิ่ม น้ำหนักก็เพิ่ม ลิฟต์อาจกำลังเคลื่อนที่ลงและชะลออยู่ก็ได้ ค่าที่อ่านขึ้นกับการเปลี่ยนความเร็ว ไม่ใช่ทิศการเคลื่อนที่ในขณะนั้น

หากลิฟต์มีความเร่งลงขนาด a < g แรงโน้มถ่วงทำให้เกิดความเร่งนี้ส่วนหนึ่ง พื้นรองรับจึงออกแรงน้อยลง: P = m(g − a) เมื่อถึงขีดจำกัด a = g คนและพื้นตกอย่างอิสระไปด้วยกัน ไม่จำเป็นต้องมีแรงปฏิกิริยาคอยรองรับ จึงได้ P = 0 แต่แรงโน้มถ่วงยังคงมีอยู่ ไม่อาจใช้สูตรต่อไปจนได้แรงกดพื้นเป็นลบ เพราะพื้นรองรับธรรมดาไม่อาจดึงคนลงทางเท้าได้ เมื่อขาดการสัมผัสต้องเปลี่ยนแบบจำลอง

คนมวล 50 kg กำลังเคลื่อนที่ลง ลิฟต์ชะลอด้วยความเร่งขึ้นขนาด 2 m/s² กำหนดให้ g = 10 м/с² จงหาน้ำหนักของคน

ลิฟต์เคลื่อนที่ลงแต่กำลังชะลอ ความเร่ง 2 m/s² จึงชี้ขึ้น เพื่อทำให้ความเร็วเปลี่ยนเช่นนี้ แรงจากพื้นรองรับต้องมากกว่า mg

แรง N กระทำขึ้นต่อคน และ mg กระทำลง กฎข้อที่สองของนิวตันให้ N − mg = ma น้ำหนักที่คนกระทำต่อพื้นรองรับมีขนาดเท่ากับ N

P = m(g + a) = 50 · (10 + 2) = 600 Н.

ถ้าเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ค่าที่อ่านจะเป็น 500 N แรงส่วนเกิน 100 N ทำให้ได้ความเร่งขึ้น 100/50 = 2 м/с² โดยมวลของคนยังคงเป็น 50 kg

น้ำหนักเท่ากับ 600 N มากกว่าค่าปกติ 100 N สำหรับค่า g ที่กำหนด แรงกดที่เพิ่มขึ้นเกิดจากการชะลอของลิฟต์ ไม่ใช่การเปลี่ยนมวล

มวลเท่าเดิมอาจรับแรงโน้มถ่วงต่างกันและมีน้ำหนักต่างกันได้ ต้องแยกชนิดของอันตรกิริยาและวัตถุที่แต่ละแรงกระทำต่อ

แรงสปริงและแรงเสียดทานอธิบายด้วยกฎโดยประมาณ ช่วงการเปลี่ยนรูปและการมีหรือไม่มีการไถลจึงสำคัญ

น้ำหนักเปลี่ยนตามความเร่งของพื้นรองรับ ขณะตกอย่างอิสระ แรงสัมผัสหายไปแต่แรงโน้มถ่วงยังคงกระทำอยู่

แรงโน้มถ่วงและกฎข้อที่สองของนิวตันจะช่วยอธิบายวงโคจรของดาวเทียม