Тяготение, упругость, вес и трение

Весы в тормозящем лифте показывают больше, хотя человек ничего не съел и его масса прежняя. Чтобы понять показание, разберём, кто на кого действует: Земля, пружина, пол и сам человек.

Почему яблоко падает к Земле, а Земля будто не отвечает? Тяготение взаимно: все тела с массой притягивают друг друга с равными силами. Закон F = Gm₁m₂/r² показывает зависимость модуля силы от обеих масс и расстояния. Земля почти незаметно ускоряется из-за огромной массы. Такую запись применяют к материальным точкам или непересекающимся сферически симметричным телам: произвольную близкую глыбу нельзя без проверки заменить шаром.

В мысленном опыте раздвинем два шара вдвое дальше. Сила станет вчетверо меньше: важен квадрат расстояния r между центрами, а не зазор между поверхностями. Удвоение любой массы, напротив, удвоит силу. В СИ массы берут в килограммах, r в метрах, G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Эта универсальная постоянная задаёт масштаб тяготения; она не является местным ускорением g и не меняется при переносе опыта на другую планету.

Как связать тяготение с измеренным ускорением падения? У поверхности планеты на тело действует Fтяж = mg. Удвоение массы удваивает силу, но одновременно удваивает инертность: a = Fтяж/m = g остаётся тем же. На Земле g примерно 9,8 м/с²; на другой планете меняется g и сила тяжести, а масса сохраняется. Считать g постоянным можно на небольшой по сравнению с радиусом планеты области.

Подвесим груз к пружине: она удлинится и потянет его обратно. Деформация меняет взаимное расположение частей пружины, а сила упругости стремится восстановить её форму. Удлинение Δl — разность новой и исходной длин в метрах. При сжатии оно отрицательно, поэтому модуль силы связывают с |Δl|. Направление находят отдельно: растянутая пружина тянет к восстановлению длины, сжатая — толкает.

Повесим на одну пружину последовательно одинаковые небольшие грузы. Пока действует линейная модель, удвоенная нагрузка даёт удвоенную деформацию: Fупр = k|Δl|. Жёсткость k в Н/м показывает силу на каждый метр изменения длины. При одинаковом растяжении более жёсткая пружина действует сильнее. На графике Fупр от |Δl| k — наклон прямой; при нулевой деформации эта модель даёт нулевую силу.

Можно ли растягивать пружину всё дальше по той же прямой графика? Нет: закон Гука описывает ограниченную линейную область. Упругость означает восстановление формы после разгрузки, но упругое поведение не обязательно линейно при любой деформации. При слишком сильном растяжении пропорциональность нарушается, а после повреждения пружина может не восстановиться. Поэтому прежде применения k важно проверить не только материал, но и диапазон нагрузки.

Скользящая книга замедляется на столе: поверхности действуют друг на друга вдоль контакта. Трение скольжения направлено против их относительного скольжения. Приближённая модель Fтр = μN связывает его модуль с нормальной реакцией N, перпендикулярной поверхности; μ безразмерен. Увеличение N вдвое обычно удваивает трение в пределах этой модели. N не всегда равно mg: дополнительное прижатие или ускорение опоры меняет реакцию.

Толкни шкаф сначала слабо, затем сильнее. Пока он стоит, горизонтальная сумма сил нулевая: трение покоя подстраивается под толчок. При 10 Н оно может быть 10 Н против толчка, при отсутствии горизонтальной нагрузки — нулём. Лишь перед скольжением достигается предел, описываемый через коэффициент трения покоя и N. Поэтому запись «трение всегда равно μN» теряет важное различие между покоем и скольжением.

Человек давит на весы, а весы давят на человека. Вес P — сила действия тела на опору или подвес, измеряемая в ньютонах. Реакция N действует в ответ на человека: это пара контактных сил по третьему закону. Тяжесть mg — другая сила, со стороны Земли на человека. Даже если P и mg имеют одинаковый модуль, их получатели различны. Показание весов отражает контакт, а не непосредственно массу или гравитацию.

Чтобы разогнать человека вверх, опора должна не только уравновесить тяжесть, но и создать избыток силы вверх. На оси вверх N − mg = ma, поэтому модуль веса P = N = m(g + a), где a — модуль ускорения вверх. При a = 0 получаем mg, при увеличении a вес растёт. Лифт может при этом ехать вниз и тормозить: показание определяется изменением скорости, а не её текущим направлением.

Если лифт ускоряется вниз с модулем a < g, тяжесть частично обеспечивает это ускорение, а опора давит слабее: P = m(g − a). В пределе a = g человек и пол свободно падают вместе, нужда в поддерживающей реакции исчезает: P = 0. Тяготение при этом остаётся. Продолжать формулу до отрицательного давления пола нельзя: обычная опора не тянет человека за ноги, и при потере контакта меняется модель.

Человек массой 50 кг едет вниз. Лифт тормозит с ускорением 2 м/с² вверх. Примите g = 10 м/с². Найдите вес.

Лифт движется вниз, но тормозит: его ускорение 2 м/с² направлено вверх. Для такого изменения скорости сила опоры должна превышать mg.

На человека действуют N вверх и mg вниз. Второй закон даёт N − mg = ma; вес человека на опору равен N по модулю.

P = m(g + a) = 50 · (10 + 2) = 600 Н.

При постоянной скорости было бы 500 Н. Дополнительные 100 Н дают 100/50 = 2 м/с² вверх; масса человека остаётся 50 кг.

Вес равен 600 Н — на 100 Н больше обычного при принятом g. Усиленное давление связано с торможением лифта, а не с изменением массы.

Одинаковая масса может иметь разную силу тяжести и разный вес: нужно различать взаимодействия и их получателей.

Пружина и трение описываются приближёнными законами; диапазон деформации и наличие скольжения важны.

Вес меняется с ускорением опоры; в свободном падении контактная сила исчезает, хотя тяготение действует.

Тяготение и второй закон помогут объяснить орбиту спутника.