นิวเคลียสของอะตอมและกัมมันตภาพรังสี

ลองบวกมวลของโปรตอนและนิวตรอนอิสระ แล้วเทียบกับมวลนิวเคลียสที่ประกอบด้วยอนุภาคชุดเดียวกัน นิวเคลียสเบากว่า ทั้งที่จำนวนนิวคลีออนเท่าเดิม เราจะเชื่อมโยงผลนี้กับพลังงาน และแยกองค์ประกอบที่ระบุแน่นอนได้ออกจากเวลาสลายที่เป็นแบบสุ่ม

ประจุบวกของอะตอมรวมอยู่ในนิวเคลียสขนาดเล็ก โดยมีอิเล็กตรอนอยู่รอบ ๆ โปรตอนมีประจุบวก ส่วนนิวตรอนเป็นกลางทางไฟฟ้า ทั้งสองชนิดเรียกรวมว่านิวคลีออน นิวเคลียสทั่วไปที่มีหลายนิวคลีออนประกอบด้วยอนุภาคทั้งสองชนิด แต่ไฮโดรเจน-1 เป็นกรณีขอบเขตที่สำคัญ คือมีโปรตอนเพียงตัวเดียวและไม่มีนิวตรอน จึงต้องพิจารณาองค์ประกอบของแต่ละนิวเคลียส ไม่ใช่กำหนดว่าอะตอมทุกชนิดต้องมีนิวตรอน

ในการนับอนุภาค ให้ Z เป็นจำนวนโปรตอน N เป็นจำนวนนิวตรอน และเลขมวล A=Z+N ดังนั้น N=A-Z จำนวนเต็มไร้มิติเหล่านี้ไม่ใช่มวลที่วัดได้ Z ระบุชนิดธาตุ นิวเคลียสที่มี Z เท่ากันแต่ N ต่างกันเป็นไอโซโทป การเพิ่มนิวตรอนทำให้ A เพิ่มขึ้น 1 แต่ยังเป็นธาตุเดิม การเพิ่มหรือนำอิเล็กตรอนออกเปลี่ยนประจุของอะตอม แต่ไม่เปลี่ยนตัวเลขของนิวเคลียสเหล่านี้

อ่าน ^{4}_{2}\mathrm{He} ด้วยหลักการนับเดียวกัน คือมีนิวคลีออนสี่ตัว เป็นโปรตอนสองตัว จึงเหลือนิวตรอนอีกสองตัว นี่คืออนุภาคแอลฟาหรือนิวเคลียสฮีเลียม ในการสลายแบบแอลฟา อนุภาคนี้นำ A=4 และ Z=2 ออกจากนิวเคลียสเดิม ทำให้ตัวเลขดังกล่าวของนิวเคลียสที่เหลือลดลงตามลำดับ การตรวจผลรวมก่อนและหลังแสดงการอนุรักษ์จำนวนนิวคลีออนและประจุไฟฟ้า อนุภาคที่เขียนด้วยสัญลักษณ์นี้ไม่มีชั้นอิเล็กตรอน

สัญลักษณ์ ^{0}_{-1}\mathrm{e} แทนอิเล็กตรอนที่ปล่อยออกมาในการสลาย β⁻ คือไม่มีนิวคลีออนและมีประจุลบในหน่วย |e| ภายในนิวเคลียส นิวตรอนเปลี่ยนเป็นโปรตอนพร้อมปล่อยอิเล็กตรอนและแอนตินิวทริโน ดังนั้น A คงเดิม แต่ Z เพิ่มขึ้น 1 อิเล็กตรอนไม่ได้ซ่อนอยู่ภายในในฐานะนิวคลีออนอีกตัว แต่เกิดขึ้นในกระบวนการเปลี่ยนแปลงนี้ หากไม่กล่าวถึงแอนตินิวทริโน ก็จะอธิบายทั้งผลิตผลและการกระจายพลังงานได้ไม่ครบถ้วน

นิวเคลียสในสถานะกระตุ้นสามารถปล่อยพลังงานโดยไม่เปลี่ยนจำนวนโปรตอนและนิวตรอน โฟตอนที่ปล่อยออกมาเขียนเป็น ^{0}_{0}\gamma ซึ่งไม่นำพานิวคลีออนหรือประจุไฟฟ้า A และ Z จึงคงเดิม แต่นิวเคลียสอยู่ในสถานะพลังงานต่ำลง เมื่อเทียบกับการสลายแบบแอลฟาและบีตา จะเห็นว่าการบอกเพียงว่านิวเคลียสแผ่รังสียังไม่พอที่จะทำนายว่าธาตุเปลี่ยนหรือไม่ ต้องทราบชนิดของการเปลี่ยนแปลงด้วย

มวลที่วัดได้มักเขียนในหน่วยมวลอะตอม u หรือ а.е.м. ซึ่งเท่ากับหนึ่งในสิบสองของมวลอะตอมคาร์บอน-12 ที่เป็นอิสระ เป็นกลาง อยู่นิ่ง และอยู่ในสถานะพื้น โดย 1 u≈1,66·10⁻²⁷ кг นี่คือหน่วยมวลจริง ๆ ส่วน A เป็นจำนวนอนุภาค ตัวเลขอาจใกล้เคียงกันสำหรับบางนิวเคลียส แต่ใช้เลขมวลแทนมวลที่แม่นยำไม่ได้ เพราะผลต่างมวลเล็กน้อยนี้เองที่ใช้หาพลังงานยึดเหนี่ยว

ใช้มวลจากตาราง m_p\approx1{,}00728\,u, m_n\approx1{,}00866\,u, m_e\approx0{,}00055\,u ดัชนี p, n และ e หมายถึงโปรตอน นิวตรอน และอิเล็กตรอน โปรตอนกับนิวตรอนมีมวลใกล้เคียงกันแต่ไม่เท่ากัน หากปัดทั้งสองเป็น 1 u ตั้งแต่แรก ผลต่างเล็กน้อยที่ต้องการหาอาจผิดเพี้ยนหรือหายไป ในโจทย์ส่วนพร่องมวลจึงต้องเก็บจำนวนหลักให้เพียงพอก่อนลบ แล้วค่อยปัดคำตอบตามความละเอียดของข้อมูล

ตารางมักให้มวลอะตอมเป็นกลาง m_ат แต่สูตรพลังงานยึดเหนี่ยวต้องใช้มวลนิวเคลียส อะตอมมีอิเล็กตรอน Z ตัว ถ้าละเลยพลังงานยึดเหนี่ยวของอิเล็กตรอน จะได้ m_{\text{яд}}\approx m_{\text{ат}}-Zm_e ต้องใช้หน่วยเดียวกันสำหรับมวลทุกค่า นี่เป็นการประมาณ เพราะชั้นอิเล็กตรอนก็ถูกยึดเหนี่ยวและมีส่วนต่อพลังงานเช่นกัน ไอออนมีจำนวนอิเล็กตรอนต่างออกไป การลบมวลอิเล็กตรอน Z ตัวโดยไม่ตรวจว่าอะตอมเป็นกลางหรือไม่จึงผิด

เมื่อนิวคลีออนอิสระรวมเป็นนิวเคลียสที่ยึดเหนี่ยวกัน จะปล่อยพลังงานออกมา ทำให้ระบบที่เกิดขึ้นมีพลังงานนิ่งลดลง มวลของระบบจึงน้อยกว่าผลรวมมวลของอนุภาคอิสระ ผลต่างนี้เรียกว่าส่วนพร่องมวล Δm หากต้องการแยกอนุภาคชุดเดิมออกจากกันอย่างสมบูรณ์ ต้องใส่พลังงานยึดเหนี่ยวเข้าไป นิวคลีออนไม่ได้หายไป แต่สถานะอันตรกิริยาของมันเปลี่ยนไป การแยกชิ้นส่วนที่ติดกันช่วยเปรียบเทียบเรื่องพลังงานที่ต้องใช้ได้ แต่การยึดเหนี่ยวในนิวเคลียสมีกลไกทางฟิสิกส์เฉพาะของมัน

เริ่มจากหาผลรวมมวลของอนุภาคอิสระ แล้วลบมวลนิวเคลียส: \Delta m=Zm_p+Nm_n-m_{\text{яд}} ในที่นี้ N ยังคงเป็นจำนวนนิวตรอนในนิวเคลียสหนึ่งตัว สำหรับสถานะที่ยึดเหนี่ยวกันเมื่อเทียบกับการแยกเป็นนิวคลีออนทั้งหมด จะมี Δm>0 หาก Δm=0 ก็ไม่มีการลดพลังงานนิ่งในลักษณะนี้ ทุกพจน์ต้องใช้หน่วยเดียวกันและอ้างอิงนิวเคลียส ไม่ใช่เผลอนับอิเล็กตรอนของอะตอมเป็นกลางรวมเข้าไป

พลังงานที่ต้องใช้แยกนิวเคลียสออกจากกันอย่างสมบูรณ์คือ E_{\text{св}}=\Delta m c^2 เมื่อ Δm มีหน่วยกิโลกรัมและ c≈3·10⁸ м/с จะได้คำตอบเป็นจูล หากส่วนพร่องมวลเพิ่มเป็นสองเท่า พลังงานยึดเหนี่ยวก็เพิ่มเป็นสองเท่า ตัวคูณ c² ที่ใหญ่มากทำให้มวลเพียงเล็กน้อยมีพลังงานสมมูลมาก ข้อความนี้ไม่ได้บอกว่าสสารหายไป แต่เปรียบเทียบพลังงานรวมของอนุภาคชุดเดียวกันในสองสถานะ พลังงานยึดเหนี่ยวต่อนิวคลีออนใช้เปรียบเทียบได้ แต่ไม่ใช่ปัจจัยเดียวที่ตัดสินว่าการสลายแบบใดเกิดขึ้นได้

หาก Δm อยู่ในหน่วยมวลอะตอม ใช้ E_{\text{св}}=\Delta m\cdot931\,\frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} ได้โดยตรง MeV หมายถึงหนึ่งล้านอิเล็กตรอนโวลต์ โดย 1 МэВ≈1,60·10⁻¹³ Дж หน่วยมวลตัดกัน เหลือหน่วยพลังงาน นี่คือความสัมพันธ์ Δmc² เดิม ตัวคูณ 931 ผ่านการปัดเศษแล้ว คำตอบจึงเป็นค่าประมาณ ห้ามระบุผลจากการคูณนี้ว่าเป็นจูล ต้องใช้ชุดหน่วยให้สอดคล้องกันตลอด

นิวเคลียสที่ไม่เสถียรสามารถเปลี่ยนเป็นนิวเคลียสอื่นหรือสถานะอื่นได้เอง พร้อมปล่อยอนุภาคหรือรังสี นี่คือการสลายกัมมันตรังสี เราไม่อาจทำนายเวลาสลายที่แน่นอนของนิวเคลียสตัวใดตัวหนึ่งได้ การเตรียมเหมือนกันไม่ได้ทำให้ทุกตัวมีกำหนดเวลาตรงกัน แต่สำหรับนิวเคลียสชนิดเดียวกันจำนวนมาก เราทำนายสัดส่วนที่เหลือโดยเฉลี่ยได้ กฎเชิงสถิติจึงอธิบายกลุ่มอนุภาคได้อย่างน่าเชื่อถือ โดยไม่ต้องทำนายแต่ละเหตุการณ์อย่างแน่นอน

ครึ่งชีวิต T คือเวลาที่ทำให้จำนวนนิวเคลียสเดิมที่ยังไม่สลายเหลือครึ่งหนึ่งโดยเฉลี่ย เมื่อผ่านไปอีก T จะเหลือครึ่งหนึ่งของกลุ่มที่เหลืออยู่ ไม่ใช่ลบออกอีกครึ่งหนึ่งของจำนวนตั้งต้น ดังนั้นนิวเคลียสที่อยู่รอดมาหนึ่งครึ่งชีวิตจึงไม่จำเป็นต้องสลายทันทีหลังจากนั้น T อธิบายสถิติของกลุ่ม ไม่ใช่ตัวตั้งเวลาเหมือนกันในนิวเคลียสทุกตัว

เมื่อเริ่มต้นด้วยจำนวน N₀ กฎคือ N=N_0\,2^{-t/T} ตอนนี้ N นับนิวเคลียสเดิมที่ยังเหลือในตัวอย่าง ไม่ใช่นิวตรอนในนิวเคลียสหนึ่งตัว เมื่อ t=0 ได้ N₀ เมื่อ t=T เหลือครึ่งหนึ่ง และเมื่อ t=2T เหลือหนึ่งในสี่ ต้องใช้หน่วยเดียวกันสำหรับ t และ T เพื่อให้เลขชี้กำลังไร้มิติ หากเพิ่มจำนวนตั้งต้นเป็นสองเท่าและพิจารณาเวลาเท่าเดิม จำนวนที่คาดว่าจะเหลือก็เพิ่มเป็นสองเท่า แต่สัดส่วนที่เหลือไม่เปลี่ยน

แบบจำลองสมมติว่านิวเคลียสทั้งหมดเป็นชนิดเดียวกัน และไม่มีนิวเคลียสตั้งต้นเพิ่มเข้ามา สูตรนับเฉพาะนิวเคลียสชนิดนี้ ผลิตผลการสลายอาจยังอยู่ในตัวอย่าง จึงไม่ได้บอกจำนวนอนุภาคทั้งหมดหรือมวลรวมของตัวอย่าง สำหรับกลุ่มเล็ก ความผันผวนแบบสุ่มจากค่าเฉลี่ยจะเห็นชัดเป็นพิเศษ เมื่อ t มาก ค่า N ที่คาดหมายอาจเป็นเศษส่วนได้ นั่นคือค่าเฉลี่ยจากการทำซ้ำหลายครั้ง ไม่ใช่การมีนิวเคลียสเป็นชิ้นส่วนจริง ๆ ในภาชนะหนึ่งใบ

ตัวอย่างเริ่มต้นมีนิวเคลียสไม่เสถียรชนิดเดียวกัน 1000 ตัว ครึ่งชีวิตเท่ากับ 5 ชั่วโมง คาดว่าจะมีนิวเคลียสเดิมเหลือกี่ตัวหลัง 10 ชั่วโมง?

เวลา t = 10 ч และครึ่งชีวิต T = 5 ч ใช้หน่วยเดียวกัน อัตราส่วน t/T = 10/5 = 2 แสดงว่าผ่านไปแล้วสองครึ่งชีวิต

หลังครึ่งชีวิตแรก คาดว่าจะเหลือนิวเคลียสเดิมที่ยังไม่สลาย 1000/2 = 500 ตัว

หลังครึ่งชีวิตที่สอง ให้หาครึ่งหนึ่งของจำนวนที่เหลือ: 500/2 = 250 สูตรก็ให้ผลเดียวกัน คือ N = 1000·2⁻² = 250

นี่คือจำนวนที่คาดหมายโดยเฉลี่ย จำนวนที่เหลือจริงในตัวอย่างหนึ่งอาจต่างออกไปจากความสุ่ม นิวเคลียสที่สลายเปลี่ยนเป็นผลิตผล ไม่ได้หายไปตามกำหนดเวลาร่วมกัน

โดยเฉลี่ยจะเหลือนิวเคลียสเดิมที่ยังไม่สลาย 250 ตัว หรือหนึ่งในสี่ของ 1000 นี่คือค่าคาดหมายเชิงสถิติ ไม่ใช่จำนวนที่ต้องได้ตรงกันทุกการทดลอง

จำนวนนิวคลีออน มวลอะตอม และมวลนิวเคลียสเป็นคนละปริมาณ ต้องแยกให้ชัดเมื่อต้องคำนวณส่วนพร่องมวล

พลังงานยึดเหนี่ยวสัมพันธ์กับมวลที่ต่ำกว่าของสถานะยึดเหนี่ยว และต้องคำนวณด้วยหน่วยที่สอดคล้องกัน

กฎครึ่งชีวิตทำนายสัดส่วนนิวเคลียสเดิมที่เหลือในกลุ่ม ไม่ใช่อายุของนิวเคลียสแต่ละตัวหรือมวลรวมของผลิตผล

จบหลักสูตรแล้ว: เชื่อมโยงสิ่งที่สังเกตกับแบบจำลอง ตรวจเงื่อนไขของแบบจำลอง แล้วจึงคำนวณ