Атомное ядро и радиоактивность

Сложим массы свободных протонов и нейтронов и сравним с массой ядра из тех же частиц. Ядро легче, хотя число нуклонов сохранилось. Разберём, как этот результат связан с энергией и чем предсказуемый состав отличается от случайного момента распада.

Положительный заряд атома сосредоточен в маленьком ядре, вокруг которого находятся электроны. Протоны положительны, нейтроны электрически нейтральны; их общее название — нуклоны. Обычные многонуклонные ядра содержат оба вида, но водород-1 даёт важный предел: один протон без нейтронов. Поэтому состав нужно определять по конкретному ядру, а не требовать нейтрон у каждого атома по определению.

Для счёта частиц нужны Z — число протонов, N — число нейтронов и массовое число A=Z+N. Отсюда N=A-Z. Эти безразмерные целые числа не являются измерениями массы. Z определяет элемент; одинаковое Z при разных N даёт изотопы. Если добавить нейтрон, A вырастет на 1, а элемент останется прежним. Добавление или удаление электрона меняет заряд атома, но не эти числа ядра.

Обозначение ^{4}_{2}\mathrm{He} читается через тот же счёт: четыре нуклона, из них два протона, значит ещё два нейтрона. Это альфа-частица — ядро гелия. При альфа-распаде она уносит из исходного ядра A=4 и Z=2; у остатка эти числа уменьшаются соответственно. Проверка сумм до и после показывает сохранение числа нуклонов и электрического заряда. Электронной оболочки у частицы в этом обозначении нет.

Запись ^{0}_{-1}\mathrm{e} обозначает электрон β⁻-распада: ноль нуклонов и отрицательный заряд в единицах |e|. В ядре нейтрон превращается в протон с испусканием электрона и антинейтрино. Поэтому A сохраняется, а Z увеличивается на 1. Электрон не был спрятан внутри как ещё один нуклон: он возникает в превращении. Без антинейтрино описание продуктов и распределения энергии было бы неполным.

Возбуждённое ядро может отдать энергию, не меняя протонный и нейтронный состав. Испущенный фотон обозначают ^{0}_{0}\gamma: он не уносит ни нуклонов, ни электрического заряда. A и Z остаются прежними, энергетическое состояние ядра становится ниже. Сравнение с альфа- и бета-распадом показывает, почему одной фразы «ядро излучило» мало, чтобы предсказать изменение элемента: нужно знать тип превращения.

Измеренные массы удобно выражать в атомной единице u, или а.е.м. Она равна одной двенадцатой массы свободного нейтрального атома углерода-12 в покое и основном состоянии; 1 u≈1,66·10⁻²⁷ кг. Это реальная единица массы, а A — число частиц. Числа могут быть близки для некоторых ядер, но подменять точную массу массовым числом нельзя: именно малая разность масс нужна для энергии связи.

Используем табличные массы m_p\approx1{,}00728\,u, m_n\approx1{,}00866\,u, m_e\approx0{,}00055\,u. Индексы p, n, e указывают протон, нейтрон и электрон. Протон и нейтрон близки по массе, но не равны. Если заранее округлить оба до 1 u, малая искомая разность может исказиться или исчезнуть. В задачах на дефект массы сохраняют достаточное число цифр до вычитания и округляют итог с учётом точности данных.

В таблице часто дана масса нейтрального атома m_ат, а формуле связи нужна масса ядра. Атом включает Z электронов: если их энергией связи пренебречь, m_{\text{яд}}\approx m_{\text{ат}}-Zm_e. Все массы берут в одной единице. Это приближение, потому что электронная оболочка тоже связана и имеет энергетический вклад. Для иона число электронов другое; вычесть Z электронных масс без проверки нейтральности было бы ошибкой.

При образовании связанного ядра из свободных нуклонов выделяется энергия, и энергия покоя образовавшейся системы оказывается меньше. Поэтому её масса меньше суммы свободных масс: разность называют дефектом массы Δm. Чтобы вернуть те же частицы к полностью разделённому состоянию, требуется энергия связи. Нуклоны не исчезли — изменилось состояние их взаимодействия. Аналогия с разборкой сцепленных частей помогает понять затрату энергии, но ядерная связь имеет собственную физическую природу.

Сначала посчитаем массу свободного набора, затем вычтем массу ядра: \Delta m=Zm_p+Nm_n-m_{\text{яд}}. Здесь N всё ещё число нейтронов в одном ядре. Для состояния, связанного относительно разделения на нуклоны, Δm>0. При Δm=0 соответствующего выигрыша энергии покоя нет. Все слагаемые должны иметь одинаковые единицы и относиться к ядру, а не случайно к нейтральному атому вместе с электронами.

Энергия полного разделения ядра E_{\text{св}}=\Delta m c^2. Если Δm в килограммах и c≈3·10⁸ м/с, получаем джоули. Удвоение дефекта массы удваивает энергию связи; огромный коэффициент c² делает даже малую массу энергетически значимой. Это не утверждение об исчезновении вещества: сравниваются полные энергии двух состояний одних частиц. Энергия связи на нуклон удобна для сравнения, но не одна определяет возможность конкретного распада.

Если Δm выражен в а.е.м., можно сразу получить E_{\text{св}}=\Delta m\cdot931\,\frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}}. МэВ означает миллион электронвольтов: 1 МэВ≈1,60·10⁻¹³ Дж. Единица массы сокращается и остаётся энергия; это та же связь Δmc². Коэффициент 931 округлён, поэтому результат приближённый. Нельзя после такого умножения объявлять число джоулями: альтернативные наборы единиц должны оставаться согласованными.

Нестабильное ядро способно самопроизвольно перейти в другое ядро или состояние, испустив частицы либо излучение. Это радиоактивный распад. Точный момент для выбранного отдельного ядра заранее не предсказывается; одинаковая подготовка не создаёт одинакового расписания. Зато для большого множества одного вида ядер можно предсказать среднюю долю оставшихся. Так статистический закон даёт надёжное описание совокупности без точного предсказания каждого события.

Период полураспада T — время, за которое в среднем остаётся половина исходных нераспавшихся ядер данного вида. Через следующий T сохраняется половина уже оставшейся группы, а не вычитается снова половина начальной. Поэтому ядро, пережившее один период, не обязано распасться в ближайший момент. Величина описывает статистику множества; у отдельных ядер нет одинакового встроенного таймера на T.

Для начального количества N₀ закон имеет вид N=N_0\,2^{-t/T}. N теперь считает оставшиеся исходные ядра образца, а не нейтроны одного ядра. При t=0 получаем N₀, при t=T половину, при t=2T четверть. t и T выражают в одинаковых единицах, чтобы показатель степени был безразмерным. Если исходное количество удвоить при том же времени, ожидаемый остаток тоже удвоится, но доля выживших не изменится.

Модель предполагает один вид одинаковых ядер и отсутствие поступления новых исходных ядер. Считается остаток именно этого вида: продукты распада могут оставаться в образце, поэтому формула не считает все его частицы или всю массу. Для малой группы случайные отклонения от среднего особенно заметны. При больших t ожидаемое N может стать дробным — это среднее по многим повторениям, а не физическая половинка ядра в отдельном сосуде.

В образце первоначально 1000 одинаковых нестабильных ядер. Период полураспада 5 ч. Сколько исходных ядер ожидается через 10 ч?

Время t = 10 ч и период T = 5 ч выражены в одной единице. Их отношение t/T = 10/5 = 2 показывает, что прошли два периода.

После первого периода ожидаем 1000/2 = 500 исходных нераспавшихся ядер.

После второго берём половину остатка: 500/2 = 250. То же даёт N = 1000·2⁻² = 250.

Получено среднее ожидаемое число. В отдельном образце точный остаток может отличаться случайно; распавшиеся ядра превращаются в продукты, а не исчезают по общему расписанию.

В среднем останется 250 исходных нераспавшихся ядер — четверть от 1000. Это статистическое ожидание, а не обязательный точный счёт в каждом опыте.

Число нуклонов, масса атома и масса ядра — разные величины; их различие необходимо для расчёта дефекта массы.

Энергия связи соответствует меньшей массе связанного состояния и требует согласованных единиц.

Полураспад предсказывает долю исходных ядер в совокупности, а не срок жизни отдельного ядра или общую массу продуктов.

Курс завершён: связывайте наблюдение с моделью, проверяйте её условия и только затем считайте.