Магнитное поле и силы

Частица вошла в магнитное поле и стала двигаться по окружности, сохраняя модуль скорости. Сила есть, работа равна нулю. Разберём, как это возможно, начав с действия поля на ток и затем выделив один движущийся заряд.

Поднесём компас к проводнику с током: стрелка меняет направление. Движущиеся заряды и магниты создают магнитное поле, которое обнаруживается по действию на движущиеся заряды и токи. Вектор магнитной индукции B задаёт направление и силовую характеристику поля; он направлен по касательной к линии поля. Линии помогают изобразить поле, но не являются нитями, за которые магнит тянет проводник.

Поместим участок проводника с током между полюсами магнита и повернём его. Сила Ампера меняется: поперёк поля она максимальна, вдоль поля исчезает. Значит, недостаточно знать только ток и величину поля — нужна ориентация. Активная длина l считает лишь часть проводника внутри рассматриваемого поля. Удлинить внешний провод вне этой области не значит увеличить действующую на данный участок магнитную силу.

Результат для прямого участка в однородном поле записывается F_A=IlB\sin\alpha. I в амперах, l в метрах, B в теслах дают силу в ньютонах; α — угол между током и B. Удвоение тока или активной длины удваивает силу при прежнем поле. При α=0° синус нулевой, при α=90° равен единице. Формула даёт модуль, а направление необходимо установить отдельно по ориентации тока и поля.

Как сравнить поля двух магнитов одним опытом? Возьмём одинаковые ток и длину, расположив проводник поперёк поля: тогда B=F_A/(Il). Отсюда 1\,\mathrm{Тл}=1\,\mathrm{Н}/(\mathrm{А}\cdot\mathrm{м}). Поле в одну теслу действует силой один ньютон на метровый активный участок с током один ампер в таком положении. Если повернуть проводник, меньшая сила ещё не означает, что само поле ослабло.

Свернём проводник в рамку. На её разные стороны действуют силы, которые могут создавать вращающий момент даже при нулевой суммарной силе. Для одного витка B=M_{\max}/(IS), где S — площадь в м², Mmax — максимальный по ориентации момент в Н·м. Удвоенная площадь при том же токе и поле удваивает максимальный момент. Берут именно максимум: неудачная ориентация рамки дала бы меньший момент при прежнем B.

Ток состоит из движущихся зарядов. Для одной частицы магнитная составляющая силы Лоренца имеет модуль F_L=|q|vB\sin\alpha: q в кулонах, v в м/с, α между скоростью и полем. Удвоение |q| или скорости при прежнем угле удваивает силу; неподвижная частица магнитной силы не испытывает. Полная сила Лоренца может включать также электрическую часть, но сейчас рассматриваем только действие магнитного поля.

Чтобы получить направление для положительного заряда, используем v×B: поверните пальцы правой руки от v к B через меньший угол, большой палец укажет силу. Для отрицательного заряда направление противоположно. Сила поперечна и скорости, и полю. Мысленно поменяйте знак заряда при прежних v и B: частица начнёт поворачивать в другую сторону, хотя модуль силы останется таким же.

На каждом коротком участке магнитная сила перпендикулярна перемещению, поэтому её работа равна нулю. Она может поворачивать вектор скорости, не меняя его длины и кинетической энергии. Это знакомая ситуация равномерного кругового движения. При скорости строго вдоль B сила вообще нулевая. Если частица одновременно разгоняется электрическим полем, рост энергии нельзя приписывать магнитной части силы.

Пусть начальная скорость поперечна однородному B и других сил нет. Магнитная сила всё время поворачивает скорость, оставаясь одинаковой по модулю: получается окружность. Из второго закона |q|vB=mv^2/R, где m в килограммах, R в метрах. Это равенство реальной магнитной силы и требуемого центростремительного действия; вторую «силу к центру» добавлять не надо. Используется нерелятивистское движение.

Из баланса получаем R=mv/(|q|B). Большая масса или скорость расширяет окружность, большее поле или |q| сужает её. Время оборота T=2\pi R/v=2\pi m/(|q|B) в секундах. При росте v путь за оборот растёт в той же пропорции, поэтому T не меняется. Эта компенсация объясняет независимость периода от скорости в модели; при уменьшении B радиус и период растут, а при B=0 кругового движения уже нет.

Добавим к скорости поперёк B составляющую вдоль поля. Магнитная сила её не меняет, поэтому круговое движение сочетается с равномерным продвижением: возникает винтовая траектория. В радиус подставляют поперечную скорость, а не полный модуль. При скоростях, близких к c, обычное mv уже не описывает импульс правильно; тогда простая независимость периода от скорости теряется и требуется релятивистская модель.

Прямой проводник длиной 0,5 м несёт ток 2 А перпендикулярно однородному полю 0,4 Тл. Найдите модуль силы Ампера.

Рассматриваем прямой проводник с током, значит нужна сила Ампера. Активная длина в поле l = 0,5 м, ток I = 2 А, индукция B = 0,4 Тл.

Проводник перпендикулярен полю: α = 90°, sin α = 1. Для этих B, I и l модуль силы максимален.

F = BIl = 0,4 × 2 × 0,5 = 0,4 Н.

Единицы Тл·А·м дают Н. При повороте вдоль поля сила уменьшилась бы до нуля, хотя ток и индукция остались бы прежними.

Модуль силы Ампера F = 0,4 Н. Это максимальная сила при данных токе, поле и активной длине проводника.

Магнитное действие определяется не только величиной поля, но и направлением тока или скорости относительно B.

Сила поперёк скорости может менять траекторию без работы и без изменения кинетической энергии.

Радиус и период кругового движения следуют из второго закона; их простые выражения имеют нерелятивистскую область применимости.

Далее рассмотрим, как изменение магнитного поля создаёт электрическое действие.