สนามแม่เหล็กและแรง

อนุภาคเข้าสู่สนามแม่เหล็กแล้วเคลื่อนที่เป็นวงกลมโดยอัตราเร็วคงตัว มีแรงกระทำแต่แรงไม่ทำงาน เราจะเริ่มจากแรงของสนามที่กระทำต่อกระแส แล้วแยกพิจารณาประจุเคลื่อนที่เพียงตัวเดียว เพื่อเข้าใจว่าเกิดเช่นนี้ได้อย่างไร

นำเข็มทิศเข้าใกล้ลวดที่มีกระแส เข็มจะเปลี่ยนทิศ ประจุเคลื่อนที่และแม่เหล็กสร้างสนามแม่เหล็ก ซึ่งตรวจพบได้จากแรงต่อประจุเคลื่อนที่และกระแส เวกเตอร์ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก B บอกทิศและความเข้มของสนาม โดยมีทิศสัมผัสเส้นสนาม เส้นสนามช่วยแสดงสนาม แต่ไม่ใช่เส้นเชือกที่แม่เหล็กใช้ดึงตัวนำ

วางตัวนำที่มีกระแสระหว่างขั้วแม่เหล็กแล้วหมุน แรงแม่เหล็กต่อกระแสมากที่สุดเมื่อตั้งฉากกับสนามและเป็นศูนย์เมื่อขนาน จึงรู้เพียงกระแสและขนาดสนามไม่พอ ต้องรู้แนววางด้วย ความยาวที่อยู่ในสนาม l นับเฉพาะส่วนภายในบริเวณสนามที่พิจารณา การเพิ่มความยาวลวดด้านนอกไม่ได้เพิ่มแรงแม่เหล็กบนส่วนที่อยู่ในสนาม

สำหรับส่วนตัวนำตรงในสนามสม่ำเสมอ F_A=IlB\sin\alpha เมื่อ I เป็นแอมแปร์ l เป็นเมตร และ B เป็นเทสลา แรงมีหน่วยนิวตัน α คือมุมระหว่างกระแสกับ B การเพิ่มกระแสหรือความยาวที่อยู่ในสนามสองเท่าทำให้แรงเพิ่มสองเท่าในสนามเดิม เมื่อ α=0° ไซน์เป็นศูนย์ เมื่อ α=90° ไซน์เป็นหนึ่ง สูตรให้ขนาดแรง ส่วนทิศต้องหาแยกจากแนวกระแสและสนาม

จะใช้การทดลองเดียวกันเปรียบเทียบสนามแม่เหล็กสองอันได้อย่างไร? ใช้กระแสและความยาวเท่ากัน วางตัวนำตั้งฉากกับสนาม จะได้ B=F_A/(Il) จึงมี 1\,\mathrm{Тл}=1\,\mathrm{Н}/(\mathrm{А}\cdot\mathrm{м}) สนามหนึ่งเทสลาออกแรงหนึ่งนิวตันต่อส่วนตัวนำยาวหนึ่งเมตรที่มีกระแสหนึ่งแอมแปร์ในแนวนี้ หากหมุนตัวนำแล้วแรงลด ไม่ได้แปลว่าสนามเองอ่อนลง

ดัดตัวนำเป็นวงลวด แรงบนด้านต่าง ๆ อาจสร้างโมเมนต์แรงแม้แรงลัพธ์เป็นศูนย์ สำหรับหนึ่งรอบ B=M_{\max}/(IS) โดย S คือพื้นที่ใน m² และ Mmax คือโมเมนต์แรงมากที่สุดเมื่อเปลี่ยนแนววาง มีหน่วยนิวตันเมตร เพิ่มพื้นที่สองเท่าที่กระแสและสนามเดิมทำให้โมเมนต์แรงสูงสุดเพิ่มสองเท่า ต้องใช้ค่าสูงสุด เพราะแนววางอื่นให้โมเมนต์แรงน้อยกว่าได้แม้ B เท่าเดิม

กระแสประกอบด้วยประจุที่เคลื่อนที่ สำหรับอนุภาคหนึ่งตัว ส่วนแม่เหล็กของแรงลอเรนซ์มีขนาด F_L=|q|vB\sin\alpha โดย q เป็นคูลอมบ์ v เป็นเมตรต่อวินาที และ α คือมุมระหว่างความเร็วกับสนาม การเพิ่ม |q| หรืออัตราเร็วสองเท่าที่มุมเดิมทำให้แรงเพิ่มสองเท่า อนุภาคอยู่นิ่งไม่รับแรงแม่เหล็ก แรงลอเรนซ์เต็มรูปอาจมีส่วนไฟฟ้าด้วย แต่ที่นี่พิจารณาเฉพาะแรงจากสนามแม่เหล็ก

สำหรับประจุบวก ใช้ v×B: งอนิ้วมือขวาจาก v ไปยัง B ผ่านมุมที่เล็กกว่า นิ้วโป้งชี้ทิศแรง สำหรับประจุลบ ทิศตรงข้าม แรงตั้งฉากกับทั้งความเร็วและสนาม ลองเปลี่ยนเครื่องหมายประจุโดย v และ B เดิม อนุภาคจะเลี้ยวไปอีกด้าน แม้ขนาดแรงเท่าเดิม

สำหรับการกระจัดเล็กมากแต่ละช่วง แรงแม่เหล็กตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ จึงไม่ทำงาน แรงหมุนเวกเตอร์ความเร็วได้โดยไม่เปลี่ยนขนาดหรือพลังงานจลน์ เช่นเดียวกับการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ หากความเร็วขนาน B พอดี แรงเป็นศูนย์ หากสนามไฟฟ้าทำให้อนุภาคเร็วขึ้นพร้อมกัน จะถือว่าพลังงานที่เพิ่มมาจากส่วนแม่เหล็กของแรงไม่ได้

ให้ความเร็วเริ่มต้นตั้งฉากกับ B สม่ำเสมอและไม่มีแรงอื่น แรงแม่เหล็กหมุนความเร็วตลอดเวลาโดยขนาดแรงคงเดิม จึงเกิดวงกลม กฎข้อที่สองของนิวตันให้ |q|vB=mv^2/R โดย m เป็นกิโลกรัม และ R เป็นเมตร แรงแม่เหล็กจริงทำหน้าที่ให้ความเร่งสู่ศูนย์กลาง จึงไม่ต้องเพิ่มแรงเข้าศูนย์กลางอีกแรงหนึ่ง การพิจารณานี้ใช้กับการเคลื่อนที่ที่ไม่ต้องคำนึงถึงสัมพัทธภาพ

จัดรูปได้ R=mv/(|q|B) มวลหรืออัตราเร็วมากขึ้นทำให้วงกลมกว้างขึ้น สนามหรือ |q| มากขึ้นทำให้แคบลง คาบในหน่วยวินาทีคือ T=2\pi R/v=2\pi m/(|q|B) เมื่อ v เพิ่ม ระยะทางต่อรอบเพิ่มในสัดส่วนเดียวกัน T จึงไม่เปลี่ยน การชดเชยนี้อธิบายว่าคาบไม่ขึ้นกับอัตราเร็วในแบบจำลอง เมื่อลด B รัศมีและคาบเพิ่ม แต่เมื่อ B=0 ไม่มีการเคลื่อนที่เป็นวงกลมจากสนาม

เพิ่มองค์ประกอบความเร็วตาม B ให้กับองค์ประกอบตั้งฉาก แรงแม่เหล็กไม่เปลี่ยนองค์ประกอบตามสนาม การเคลื่อนที่เป็นวงกลมจึงรวมกับการเคลื่อนที่ไปข้างหน้าสม่ำเสมอเป็นวิถีเกลียว ในสูตรรัศมีต้องใช้ความเร็วตั้งฉาก ไม่ใช่อัตราเร็วรวม เมื่ออัตราเร็วใกล้ c นิพจน์ mv ธรรมดาไม่ให้โมเมนตัมถูกต้อง คาบจะขึ้นกับอัตราเร็วและต้องใช้แบบจำลองสัมพัทธภาพ

ตัวนำตรงยาว 0.5 m มีกระแส 2 A ตั้งฉากกับสนามสม่ำเสมอ 0.4 T จงหาขนาดแรงแม่เหล็กต่อตัวนำ

เป็นตัวนำตรงที่มีกระแส จึงใช้แรงแม่เหล็กต่อกระแส ความยาวในสนาม l = 0,5 м กระแส I = 2 А และความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก B = 0,4 Тл

ตัวนำตั้งฉากกับสนาม: α = 90°, sin α = 1 สำหรับ B, I และ l เหล่านี้ ขนาดแรงมากที่สุด

F = BIl = 0,4 × 2 × 0,5 = 0,4 Н.

หน่วย Тл·А·м ให้ Н หากหมุนตัวนำให้ขนานสนาม แรงจะลดถึงศูนย์ แม้กระแสและความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็กเท่าเดิม

ขนาดแรงแม่เหล็กต่อตัวนำ F = 0,4 Н เป็นค่าสูงสุดสำหรับกระแส สนาม และความยาวในสนามที่กำหนด

ผลของแม่เหล็กขึ้นกับขนาดสนามและทิศกระแสหรือความเร็วเทียบกับ B

แรงตั้งฉากกับความเร็วทำให้วิถีโค้งได้โดยไม่ทำงานและไม่เปลี่ยนพลังงานจลน์

รัศมีและคาบการเคลื่อนที่เป็นวงกลมได้จากกฎข้อที่สองของนิวตัน รูปสูตรอย่างง่ายใช้กับการเคลื่อนที่ที่ไม่ต้องคำนึงถึงสัมพัทธภาพ

ต่อไปจะศึกษาว่าการเปลี่ยนสนามแม่เหล็กก่อให้เกิดผลทางไฟฟ้าอย่างไร