Магнитный поток и индукция

Магнит неподвижен рядом с катушкой — постоянного тока от этого нет. Стоит двигать магнит, и прибор отклоняется. Что изменилось: величина поля, число его линий или геометрия контура? Найдём величину, объединяющую эти изменения.

Повернём рамку в одном и том же поле. Когда поле проходит перпендикулярно её плоскости, действие через поверхность наибольшее; когда лежит в плоскости, нормальной составляющей нет. Магнитный поток учитывает одновременно поле, площадь и ориентацию поверхности. Для измерения угла выбирают нормаль — стрелку перпендикулярно рамке. Образ «поля сквозь площадь» удобен, но не означает поток вещества через отверстие.

Для плоской поверхности в однородном поле \Phi=BS\cos\alpha, где α — угол между B и выбранной нормалью. B в теслах, S в м². Удвоение площади удваивает поток, поворот к α=90° сводит его к нулю; при α=0° он равен BS. Здесь стоит косинус, поскольку нужна нормальная составляющая поля. Не подставляйте угол с плоскостью или с током из закона Ампера: это другая геометрия.

Магнитный поток измеряют в веберах: 1\,\mathrm{Вб}=1\,\mathrm{Тл}\cdot\mathrm{м}^2=1\,\mathrm{В}\cdot\mathrm{с}. Если выбрать противоположную нормаль, знак Φ изменится, но физическое поле не перевернётся. Поэтому нормаль сохраняют одной и той же при сравнении разных моментов. Поток может быть отрицательным по соглашению, как проекция скорости; это не отрицательная площадь и не отсутствие поля.

Изменим B, площадь рамки или её наклон: во всех случаях может измениться поток. Электромагнитная индукция — возникновение ЭДС при таком изменении потока через контур. Для неподвижного контура её вызывает изменяющееся магнитное поле, для движущегося возможно действие магнитной силы на заряды. Ток требует замкнутого проводящего пути. Разрыв цепи может устранить ток, но не саму возможность возникновения ЭДС.

Для n витков с одинаковым потоком через каждый \mathcal E_i=n|\Delta\Phi|/\Delta t даёт модуль средней ЭДС за интервал. ΔΦ — конечный поток минус начальный в веберах, Δt в секундах, n безразмерно; ответ в вольтах. Удвоение числа одинаковых витков удваивает ЭДС. Если изменение потока за весь интервал нулевое, средняя ЭДС со знаком нулевая, хотя внутри интервала она могла возникать и менять направление.

Проведём одно изменение потока сначала медленно, затем вдвое быстрее. Модуль средней ЭДС во втором опыте удвоится: важно не только изменение, но и время. При линейной зависимости потока средняя ЭДС совпадает с мгновенной. При нелинейной она может быть то больше, то меньше среднего. Модуль средней ЭДС и среднее её модуля — разные величины, если направление за интервал меняется; конечная разность не описывает скрытые колебания.

Куда пойдёт индуцированный ток в замкнутой рамке? По правилу Ленца его поле противодействует изменению исходного потока. При нарастании даёт встречный вклад, при уменьшении поддерживает прежнее направление. Если бы отклик усиливал вызвавшее его изменение без затрат работы, энергия могла бы нарастать сама. Поэтому при движении магнита приходится совершать работу; слово «против» относится к изменению, а не всегда к самому полю.

Ток катушки создаёт собственное поле. Если ток меняется, меняется и связанный с катушкой поток, поэтому возникает ЭДС самоиндукции. Она препятствует и нарастанию, и спаду тока: отклик стремится сохранить прежнее состояние. Индуктивность L, измеряемая в генри, характеризует эту связь. Большая L при той же быстроте изменения тока означает большую ЭДС; самоиндукция не требует движения катушки относительно внешнего магнита.

Один виток охватывает поток Φ, n одинаковых — суммарное потокосцепление nΦ. Для линейной катушки n\Phi=LI. Удвоение тока удваивает потокосцепление при постоянной L; у одного витка Φ=LI. Это не два разных поля, а сумма вкладов по виткам. Если уже использовано nΦ, умножать его ещё раз на n нельзя: число витков окажется учтено дважды. Нелинейный сердечник может нарушать постоянство L.

Подставим связь потока с током в закон индукции: при постоянной L \mathcal E_{\text{си}}=L|\Delta I|/\Delta t. ΔI измеряется в амперах, результат — модуль средней ЭДС в вольтах. Одна и та же перемена тока за вдвое меньшее время даёт вдвое большую ЭДС. Направление выбирают по Ленцу. Если ток менялся туда и обратно, конечная разность даёт среднее со знаком, а не сумму всех кратких всплесков напряжения.

Источник, увеличивая ток, совершает работу против самоиндукции. Для линейной катушки запас магнитной энергии W=LI^2/2 в джоулях. При удвоении I энергия растёт вчетверо, при удвоении L и прежнем I — вдвое; знак тока на энергию не влияет. При I=0 такой запас отсутствует. Когда ток уменьшается, поле может вернуть энергию цепи: самоиндукция выражает её обмен, а не создание дополнительного источника энергии.

Переместим прямой стержень в поле: сила на его движущиеся заряды разделяет их вдоль стержня. Если стержень направлен вдоль v×B, \mathcal E=Blv\sin\alpha, где α — угол скорости с B, l в метрах, v в м/с. Удвоенная скорость удваивает ЭДС, движение вдоль поля даёт ноль. Иная ориентация стержня потребует проекции силы вдоль него; формула без этой оговорки могла бы предсказать напряжение между неверно выбранными концами.

При равномерном вращении рамки поток периодически меняется, создавая переменную ЭДС. Для n одинаковых витков \mathcal E_{\max}=nBS\omega, где ω в рад/с. Вдвое более быстрое вращение удваивает и частоту, и амплитуду ЭДС. Ось лежит в плоскости рамки и перпендикулярна однородному B. Максимальная ЭДС возникает при наиболее быстром изменении потока, а не при его максимальном значении: эти моменты в цикле различны.

В катушке 100 витков поток через каждый виток равномерно уменьшился с 0,003 до 0,001 Вб за 0,1 с. Найдите модуль ЭДС.

Поток одинаково меняется через каждый из 100 витков. Поэтому сначала считаем изменение одного витка, затем один раз умножаем на n.

|ΔΦ| = |0,001 − 0,003| = 0,002 Вб. Это уменьшение потока, но для модуля ЭДС берём положительную величину изменения.

|ε| = n|ΔΦ|/Δt = 100 × 0,002/0,1 = 2 В.

Изменение равномерно, поэтому 2 В — также модуль мгновенной ЭДС на этом участке. При замкнутой цепи ток создавал бы поле, поддерживающее уменьшающийся поток.

Модуль ЭДС |ε| = 2 В. За указанный интервал он постоянен, поскольку поток уменьшается равномерно.

ЭДС связана с изменением потока, который зависит от поля, площади и ориентации; постоянный поток индукции не даёт.

Правило Ленца задаёт противодействие изменению и согласует индукцию с энергетическим балансом.

Катушка связывает ток с потокосцеплением и запасает LI²/2; число витков нельзя учитывать дважды.

Далее увидим обмен энергией в периодическом движении.