Работа тока и электрические цепи

Одинаковые лампы при двух способах соединения могут светить по-разному. Чтобы понять это, проследим не «расход тока», а передачу энергии: сколько получает каждый кулон и сколько кулонов проходит за секунду.

Напряжение U сообщает энергию на кулон, ток I — число кулонов за секунду. Перемножив, получаем мощность P=UI, то есть переданную энергию за секунду. Единица ватт: 1\,\text{Вт}=1\,\text{В}\cdot\text{А}. Если при прежнем U ток удвоится, за секунду пройдёт вдвое больше заряда и мощность удвоится. Здесь рассматриваем передачу энергии потребителю в цепи постоянного тока; для меняющихся величин произведение соответствует мощности в данный момент.

За время t при постоянном токе проходит q = It, поэтому при постоянном U работа A=Uq=UIt=Pt. Удвоение времени удваивает переданную энергию при той же мощности. Единицы согласуются: 1\,\text{Дж}=1\,\text{Вт}\cdot\text{с}=1\,\text{В}\cdot\text{Кл}. Если напряжение или ток меняются, простое произведение их выбранных значений на всё время уже не гарантирует результат; суммируют передачи по интервалам, а A/t даёт среднюю мощность.

Для омического резистора подставим в P = UI либо U = IR, либо I = U/R: получим P=I^2R=U^2/R. При постоянных величинах A=I^2Rt=(U^2/R)t. Это не три независимых закона, а разные записи одной передачи энергии с использованием закона Ома. Выбираем запись по известным и фиксированным величинам. Электродвигатель может ещё преобразовывать энергию в работу и создавать противодействующую ЭДС, поэтому его нельзя автоматически заменить одним омическим резистором.

В резисторе направленное движение носителей сопровождается передачей энергии веществу, увеличивая его внутреннюю энергию. Электрическое тепловыделение Q при постоянных I и R описывает закон Джоуля — Ленца: Q=I^2Rt. Удвоение тока увеличивает его вчетверо, удвоение времени — вдвое. Q в джоулях не равно автоматически наблюдаемому приросту внутренней энергии: одновременно нагретый резистор может отдавать энергию окружению. Температура зависит ещё от теплоёмкости и теплообмена.

Подключим вместо резистора мотор, поднимающий груз. Часть поступившей электрической энергии станет механической работой, часть нагреет обмотки и детали. Поэтому нельзя всю работу UIt без проверки назвать тепловыделением. Закон I^2Rt описывает тепловые потери в сопротивлении обмотки, а не весь полезный результат двигателя. Для обычного неподвижного резистора без других преобразований электрическая передача идёт во внутреннюю энергию, но дальнейший её отвод — отдельный процесс.

Два выражения мощности как будто дают разные ответы: большее R повышает I^2R, но уменьшает U^2/R. Противоречие исчезает, когда названо постоянное. При заданном токе источник должен повысить напряжение на большем R, и мощность растёт. При заданном напряжении ток через большее R уменьшается, и мощность падает. Перед сравнением мысленно измените сопротивление и спросите, как отреагирует источник; нельзя одновременно считать независимыми связанные I и U.

В последовательном соединении у зарядов один непрерывный путь. Если бы через первый резистор за секунду приходило больше заряда, чем уходило через второй, он накапливался бы в соединении. В установившемся режиме этого нет, поэтому I_1=I_2=I. Напряжения складываются: U=U_1+U_2, потому что энергия на кулон теряется на обоих последовательных участках. Равные токи не означают равные передачи энергии: напряжения могут различаться.

При общем токе U=IR_1+IR_2=I(R_1+R_2), значит, R=R_1+R_2. Добавление последовательного элемента повышает суммарное сопротивление; при том же напряжении источника ток уменьшается. Большему R достаётся большее падение Uᵢ = IRᵢ и большая мощность при общем токе. Для n одинаковых резисторов R=nR_1, где n — число элементов. Удвоение их числа удваивает общее сопротивление, если сопротивление каждого сохранилось.

У параллельных ветвей начала соединены в одном узле, концы — в другом. Поэтому U_1=U_2=U: каждая ветвь сравнивает те же два потенциала. Ток в общем проводе делится на ветви, I=I_1+I_2, из сохранения заряда в узле. Добавим ветвь конечного сопротивления при прежнем U — она понесёт дополнительный ток, а прежние идеальные ветви сохранят свои токи. Источник должен обеспечить увеличившийся общий перенос, иначе напряжение может измениться.

Подставим токи ветвей U/Rᵢ в их сумму и сократим общее напряжение: 1/R=1/R_1+1/R_2. Складываются проводимости, то есть способности пропускать ток при одном U. Для двух ветвей R=R_1R_2/(R_1+R_2), меньше каждой отдельной. Проверим предел: если сопротивление новой ветви очень велико, её ток почти нулевой и итог близок к прежнему R₁. Дополнительный путь не может увеличить сопротивление этой идеальной параллельной схемы.

Для n одинаковых ветвей каждый резистор пропускает U/R₁, а общий ток в n раз больше. Поэтому эквивалентное сопротивление R=R_1/n. Удвоение числа ветвей при прежнем U удваивает общий ток и мощность, но не ток отдельной ветви. Сравни с последовательным соединением: там рост числа элементов удлинял единый путь, здесь добавляет независимые пути. Это физическая проверка того, умножать ли R₁ на n или делить.

Почему разогретая металлическая нить меняет ток? В обычном металле с ростом температуры обычно усиливается рассеяние носителей на тепловых колебаниях структуры, и сопротивление растёт. Для ограниченного интервала вводят температурный коэффициент α в К⁻¹. В принятой записи R₀ — сопротивление именно при 0 °C, а α задаёт относительный наклон по отношению к этому R₀. Это характеристика выбранного материала и диапазона, а не универсальное правило для всех проводящих веществ.

Линейное приближение имеет вид R=R_0(1+\alpha t_C), где t_C — числовое значение температуры в °C. При tC = 0 возвращается R₀; при положительном α нагрев повышает R. Величина αtC безразмерна и описывает относительное изменение. Для другого опорного уровня используют соответствующие опорное сопротивление, разность температур и коэффициент; нельзя заменить только R₀. Далеко вне рабочего диапазона линия может дать бессмысленный результат, поэтому её не продолжают произвольно.

Сам источник тоже может нагреваться. В модели ЭДС \mathcal E и внутреннего сопротивления r он сообщает мощность \mathcal EI. Используя \mathcal E=I(R+r), получаем распределение: внешняя нагрузка получает I^2R, внутреннее сопротивление — I^2r. Их сумма равна мощности источника. При одном токе большее r означает большую долю внутреннего выделения; источник не только поддерживает ток, но и участвует в энергетическом балансе.

Доля мощности источника, переданная внешнему резистору, \eta=I^2R/[I^2(R+r)]=R/(R+r) при ненулевом токе. Она безразмерна и относится к установившейся цепи с одним источником. Если R намного больше r, доля близка к единице; при очень малом R энергия преимущественно выделяется внутри. Но большой КПД не гарантирует большую полезную мощность: при R → ∞ ток и мощность нагрузки стремятся к нулю. У разомкнутой цепи отношение мощностей уже не определено.

В металлическом проводе носители — электроны, а в электролите направленно движутся положительные и отрицательные ионы. Оба знака дают вклад в ток, двигаясь в противоположные стороны. На электродах происходят реакции: ионы принимают или отдают электроны, и может выделяться вещество. Поэтому перенос заряда связан с количеством продукта реакции. Этот механизм отличается от простого нагревания резистора: электрическая передача может менять химическое состояние вещества.

Для заданного электродного процесса каждому количеству прошедшего заряда соответствует определённая масса продукта. Электрохимический эквивалент k в кг/Кл показывает массу на кулон, поэтому m=kq=kIt при постоянном токе. Удвоение I или времени t удваивает массу при том же процессе. Формула предполагает, что весь учтённый ток участвует в нужной реакции; побочные процессы уменьшают выход. Буква k здесь не постоянная Кулона: её смысл задают название и единица.

Резисторы 3 Ом и 6 Ом подключили параллельно к постоянному напряжению 6 В. Найдите общий ток и мощность.

В параллельных ветвях одинаковое напряжение 6 В. Находим ток каждой ветви по закону Ома.

I₁=6/3=2 А; I₂=6/6=1 А. Общий ток I=2+1=3 А.

Общая мощность P=UI=6×3=18 Вт.

Проверка: мощности ветвей 12 Вт и 6 Вт дают те же 18 Вт; эквивалентное сопротивление 6/3=2 Ом меньше 3 Ом.

I=3 А, P=18 Вт.

Мощность UI — энергия на кулон, умноженная на кулоны за секунду; нагрев не всегда равен всей электрической работе.

В последовательной цепи общий ток и складываются напряжения, в параллельной — общее напряжение и складываются токи.

Сравнивая мощность, сначала установи, постоянны I или U. Высокий КПД источника не гарантирует высокой мощности нагрузки.

Далее изучим магнитное действие электрического тока.