Ток, сопротивление и закон Ома

Батарейка без нагрузки показывает одно напряжение, а при подключении потребителя — меньшее. Заряд не исчезает по дороге. Разберём, как источник сообщает ему энергию и почему часть передачи происходит ещё внутри самого источника.

Частицы металла и без батарейки движутся тепловым образом, но встречные переносы заряда в среднем компенсируются. Поле добавляет направленное движение свободных носителей — электрический ток. В металле носители электроны; условное направление тока соответствует переносу положительного заряда и противоположно их дрейфу. Для устойчивого тока в обычной цепи нужны замкнутый путь и источник энергии. Разомкнутый путь не позволяет бесконечно накапливать заряд у его конца.

Поставим мысленную счётную поверхность поперёк провода: сколько заряда прошло через неё за время t? Если q измерен в Кл, t в с, постоянный ток I=q/t получается в амперах. Удвоение перенесённого заряда за то же время удваивает ток; удвоение времени при том же q уменьшает средний ток вдвое. При меняющемся токе отношение q/t даёт среднее за интервал, а не обязательно значение в каждую секунду. q относится к переносу через сечение, а не ко всему заряду провода.

Два провода могут проводить одинаковый ток, но один заметно тоньше. Чтобы сравнить нагрузку на одинаковую площадку сечения, вводят плотность тока j=I/S, единица А/м². Эта запись даёт одинаковое по сечению значение при равномерном токе, направленном перпендикулярно сечению; иначе это среднее нормальной составляющей. При том же I уменьшение S вдвое удваивает j. Сила тока считает весь перенос, плотность показывает, насколько тесно он распределён по площади.

Проходя резистор, заряд передаёт ему энергию через действие поля. Напряжение U=A/q в вольтах показывает работу электрического поля на единицу перенесённого заряда. При большем U каждый кулон связан с большей передачей энергии. Сам заряд в резисторе не расходуется: в установившейся цепи столько же приходит, сколько уходит. Поэтому уменьшение электрической энергии нельзя объяснять уменьшением числа кулонов по ходу последовательной цепи.

Приложим к проводнику несколько разных напряжений и измерим ток. Если при неизменных условиях отношение R=U/I остаётся постоянным, проводник омический. R называют сопротивлением; 1\,\text{Ом}=1\,\text{В/А}. Для одного U более высокое R означает меньший ток. Постоянство отношения — опытное свойство данного режима, а не обязательный результат определения. Например, сильный нагрев меняет состояние проводника, и график I(U) может перестать быть прямой.

Для омического участка без источника ЭДС найденная пропорциональность записывается как закон Ома I=U/R. При прежней температуре и состоянии удвоим U — ток удвоится; при прежнем U удвоим R — ток уменьшится вдвое. Если напряжение равно нулю, такой участок не поддерживает направленный ток. Формула говорит о связи величин, а не требует неизменного I: постоянное сопротивление сохраняет U/I, поэтому источник вполне может менять ток изменением напряжения.

Удлиним однородный провод того же сечения: заряд будет проходить более длинный участок, и при том же токе потребуется большее напряжение. Добавим рядом такой же провод — получим дополнительный путь переноса и меньшее сопротивление. Эти наблюдения выражает R=\rho l/S, где l в м, S в м², удельное сопротивление ρ в Ом·м. ρ зависит от материала и температуры. Здесь эта буква обозначает электрическое свойство, а не массовую плотность.

В формуле стоит площадь, поэтому удвоение толщины провода нельзя без уточнения считать удвоением S. Для круглого сечения диаметра d площадь S=\pi d^2/4. Удвоим d при прежних длине и материале: S станет вчетверо больше, R — вчетверо меньше. Если же увеличить только длину вдвое, R удвоится. Такая мысленная замена размеров помогает заранее предсказать результат и поймать ошибку подстановки диаметра вместо площади.

Таблица может давать ρ в Ом·мм²/м. Тогда сечение удобно подставлять в мм², а длину по-прежнему в м. Поскольку 1\,\text{м}^2=10^6\,\text{мм}^2, получаем 1\,\text{Ом}\cdot\text{м}=10^6\,\text{Ом}\cdot\text{мм}^2/\text{м}. Это одно свойство материала в разных единицах. Перед вычислением проверь, сократятся ли единицы площади в ρl/S; иначе незаметный множитель миллион испортит результат даже при правильной физической формуле.

Одно электростатическое поле не может за полный обход цепи снова и снова сообщать заряду энергию: его работа по замкнутому пути равна нулю. В батарейке заряды разделяют химические процессы, действующие против их самопроизвольного выравнивания. Их неэлектростатическую работу обозначим A_{\text{ст}}. Электродвижущая сила \mathcal E=A_{\text{ст}}/q измеряет энергию, которую источник сообщает на единицу заряда, и объясняет возможность устойчивой передачи в нагрузку.

Название «электродвижущая сила» может сбить с толку: в определении делятся джоули на кулоны, поэтому единица ЭДС — вольт, а не ньютон. Источник с ЭДС 6 В при прохождении кулона сообщает 6 Дж энергии. Удвоение прошедшего заряда удваивает работу источника, но не обязательно ЭДС. Число в вольтах не сообщает само по себе, какой ток пойдёт: для этого нужно знать цепь, по которой будет передаваться энергия.

В простой замкнутой цепи один ток проходит внешнее сопротивление R и внутреннее сопротивление источника r, оба в омах. На каждый кулон источник сообщает ЭДС, распределённую между обоими участками: \mathcal E=IR+Ir. Отсюда I=\mathcal E/(R+r) — закон Ома для полной установившейся цепи с одним источником. Удвоение ЭДС при прежних сопротивлениях удваивает ток; увеличение любого сопротивления уменьшает его. Источник тоже часть электрического пути.

Напряжение внешней нагрузки U=IR=\mathcal E-Ir. Разность между ЭДС и U равна внутреннему падению Ir: столько энергии на кулон передаётся внутри источника. При прежних ЭДС и r увеличение тока снижает U. При очень малом токе Ir почти исчезает, и напряжение близко к ЭДС; идеальная модель r = 0 делает их равными. Значит, снижение напряжения под нагрузкой не свидетельствует о потере заряда, а отражает распределение энергии.

Если внешнее R стало пренебрежимо малым, ток модели стремится к I_{\text{кз}}=\mathcal E/r. Он ограничен внутренним сопротивлением и может быть большим, а внешнее напряжение IR — малым. При r → 0 формальная величина растёт без границ: это показывает непригодность модели идеального источника для такого предела, а не возможность бесконечного реального тока. Для расчёта считаем ЭДС и r постоянными; заметный нагрев или изменение состояния источника нарушают это условие.

Источник имеет ЭДС 6 В и внутреннее сопротивление 1 Ом. Его подключили к резистору 5 Ом. Найдите ток и напряжение на резисторе.

Ток проходит оба сопротивления: R+r=5+1=6 Ом. Используем закон Ома для полной цепи.

I=ε/(R+r)=6/6=1 А.

На внешнем резисторе U=IR=1×5=5 В.

Проверяем баланс: внутри источника падение Ir=1 В; 5 В+1 В=6 В.

I=1 А, U=5 В.

Ток считает перенос заряда, напряжение — энергию на заряд. В установившейся цепи резистор не расходует кулоны.

Закон Ома с постоянным R описывает омический участок при неизменных условиях; геометрия провода входит через длину и площадь.

ЭДС сообщает энергию источника на кулон, а U = ЭДС − Ir показывает долю, доступную внешней нагрузке.

Далее рассчитаем, как быстро цепь передаёт энергию и как соединять нагрузки.