แรงและสมดุล

ประตูหนักเปิดง่ายเมื่อผลักตรงมือจับ แต่ยากเมื่อผลักใกล้บานพับ ก้อนวัตถุที่ถูกดึงอาจอยู่นิ่งหรือเริ่มไถล จะคาดการณ์อย่างไรว่าแรงใดกระทำ และเปลี่ยนการเคลื่อนที่ทั้งชิ้นหรือการหมุน?

ลูกบอลตกเข้าหาโลก และโลกก็ถูกดึงดูดเข้าหาลูกบอล ในแบบจำลองนิวตันมวลทุกมวลดึงดูดกัน แม้แรงระหว่างของใช้ทั่วไปจะน้อยมาก สำหรับอนุภาคจุดสองอนุภาค กำหนดมวล m_1,m_2 ในหน่วย kg และระยะ r ในหน่วยเมตร ถือวัตถุเป็นจุดได้เมื่อขนาดเล็กจนละเลยได้ สำหรับวัตถุสมมาตรทรงกลมที่ไม่ซ้อนกัน กฎอนุภาคจุดให้แรงดึงดูดได้ตรงโดยใช้ระยะระหว่างศูนย์กลาง

ความสัมพันธ์จากการทดลองคือ F=Gm_1m_2/r^2 โดย G\approx6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2 มวลหนึ่งเพิ่มเป็นสองเท่าทำให้แรงสองเท่า หากทั้งสองมวลเพิ่มเป็นสองเท่า แรงเป็นสี่เท่า ระยะห่างสองเท่าทำให้แรงเหลือหนึ่งในสี่ เพราะระยะอยู่ในรูปกำลังสอง เมื่อห่างมากแรงดึงดูดอ่อนลง สำหรับวัตถุจริงห้ามแทน r=0 เพราะแบบจำลองจุดไม่อธิบายการจัดวางนั้นแล้ว

แทนมวลดาวเคราะห์ M และระยะจากศูนย์กลางถึงผิว R สำหรับวัตถุเล็ก F=GMm/R^2 ดังนั้นจาก a=F/m ได้ g=GM/R^2 และ F_{\text{тяж}}=mg มวลวัตถุที่ตกตัดกัน เพราะมวลมากขึ้นเพิ่มทั้งแรงดึงดูดและความเฉื่อยในสัดส่วนเดียวกัน สมมติดาวเคราะห์สมมาตรทรงกลมและละเลยการหมุน เมื่ออยู่ไกลจากผิว ระยะจากศูนย์กลางไม่เท่ากับ R แล้ว

แขวนวัตถุกับสปริง สปริงยืดและดึงวัตถุกลับ เมื่ออนุภาคในวัสดุเคลื่อนจากตำแหน่งเดิม อันตรกิริยาเปลี่ยนและเกิดแรงคืนรูปยืดหยุ่นที่พยายามลดการเปลี่ยนรูป ให้ \Delta l=l-l_0 ในหน่วยเมตรเป็นความยาวที่เปลี่ยนจากสภาพไม่รับภาระ เมื่ออัดเป็นลบ เมื่อยืดเป็นบวก หากนำภาระออกแล้วคืนรูปได้ การเปลี่ยนรูปนั้นเป็นแบบยืดหยุ่น แต่ไม่ได้รับประกันว่าความสัมพันธ์แรงกับระยะยืดเป็นเส้นตรง

สำหรับการเปลี่ยนรูปเล็กของสปริงเชิงเส้น ระยะยืดสองเท่าให้แรงคืนรูปสองเท่า กฎฮุคอธิบายช่วงนี้: F_{\text{упр}}=k|\Delta l| ค่าคงตัวสปริง k ในหน่วย N/m บอกแรงต่อระยะเปลี่ยนรูปหนึ่งเมตร สปริงแข็งกว่าต้องใช้แรงมากกว่าเพื่อยืดเท่ากัน ขนาดอย่างเดียวไม่บอกทิศ แรงชี้เพื่อคืนรูป เมื่อ \Delta l=0 แรงเป็นศูนย์ หากเปลี่ยนรูปมาก ความเป็นสัดส่วนอาจเสียไปก่อนขาด

โลกดึงคนที่ยืนลง ส่วนพื้นดันขึ้น แรงปฏิกิริยาตั้งฉาก N กระทำต่อคนและตั้งฉากกับพื้นรองรับ น้ำหนักปรากฏ P คือแรงที่คนกระทำต่อพื้นรองรับหรือสิ่งแขวนเนื่องจากแรงดึงดูดโลก ผู้รับแรงในที่นี้คือพื้น แรงเหล่านี้อาจมีขนาดเท่ากัน แต่ใช้แทนกันบนแผนภาพแรงไม่ได้ ระบุวัตถุทั้งสองที่มีอันตรกิริยาก่อน แล้ววาดลูกศรบนวัตถุที่ศึกษาการเคลื่อนที่

ที่หน้าสัมผัสแนวนอนซึ่งไม่มีองค์ประกอบแรงตามแนวสัมผัส แรงวัตถุต่อพื้นกับแรงพื้นต่อวัตถุเป็นคู่ตามกฎข้อที่สาม ขนาดจึงเท่ากัน: P=N แม้พื้นรองรับมีความเร่งก็ยังจริง แต่ยังสรุปอะไรเกี่ยวกับ mg ไม่ได้ ลองนึกลิฟต์เริ่มขึ้น พื้นดันคนแรงขึ้นและคนกดพื้นแรงขึ้น ต้องใช้สมการการเคลื่อนที่ของคนหาขนาดร่วมนี้

หากแรงแนวดิ่งมีเพียง N ชี้ขึ้นกับ mg ชี้ลง เลือกแกนขึ้นจะได้ N-mg=ma_y ดังนั้น N=mg เฉพาะเมื่อ a_y=0 ความเร่งขึ้นเพิ่มแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก ความเร่งลงลดแรงนี้ ในการตกอย่างอิสระ a_y=-g และ N=0 แรงดึงแนวดิ่งเพิ่มเติมก็เปลี่ยนผลได้ จึงต้องได้ N=mg จากเงื่อนไขเฉพาะ ไม่ใช่คุณสมบัติสากลของพื้นรองรับ

ก้อนวัตถุไถลบนโต๊ะ อันตรกิริยาของผิวต้านการไถลสัมพัทธ์ ในแบบจำลองแรงเสียดทานแห้ง F_{\text{тр}}=\mu N ยิ่งแรงกดตั้งฉากมาก แรงต้านยิ่งมาก สัมประสิทธิ์ไร้มิติ \mu ขึ้นกับคู่ผิวและสภาพของผิว สูตรเป็นค่าประมาณ ทิศอยู่ตามผิวต้านการไถลสัมพัทธ์ บนสายพานที่เคลื่อนที่ แรงเสียดทานอาจทำให้วัตถุเร็วขึ้นเทียบกับพื้น แทนที่จะทำให้ช้าลง

ดึงวัตถุที่อยู่นิ่งด้วย 1 N แล้ว 2 N โดยยังไม่ให้เคลื่อนที่ แรงเสียดทานสถิตจึงเป็น 1 และ 2 N ตามลำดับเพื่อสมดุลแรงดึง หน้าสัมผัสมีขีดจำกัด: F_{\text{тр}}\leq\mu_{\text{п}}N จะเท่ากันตรงจุดใกล้เริ่มไถล หากไม่มีแรงดึงแนวนอน แรงเสียดทานอาจเป็นศูนย์ สัมประสิทธิ์สถิต \mu_{\text{п}} ไม่จำเป็นต้องเท่ากับสัมประสิทธิ์จลน์

บนโต๊ะแนวนอน เมื่อไม่มีความเร่งแนวดิ่งและไม่มีแรงแนวดิ่งเพิ่มเติม จะได้ N=mg หากวัตถุกำลังไถล แทนค่าได้ F_{\text{тр}}=\mu mg มวลสองเท่าจึงให้แรงเสียดทานสองเท่า แต่หากดึงด้วยเชือกเอียง ส่วนหนึ่งของแรงดึงลดแรงกด ทำให้ N น้อยลง จึงแทนด้วย mg ตรง ๆ ไม่ได้ ก่อนใช้สูตรรวมต้องตรวจเงื่อนไขต้นทางทั้งสอง

วางวัตถุบนพื้นเอียงทำมุม \alpha กับแนวระดับ เลือกแกนตามพื้นและตั้งฉากกับพื้น แรงโน้มถ่วงเดียวกันมีองค์ประกอบ F_{\parallel}=mg\sin\alpha ลงตามพื้น และ mg\cos\alpha กดเข้าพื้น นี่เป็นองค์ประกอบแรง ไม่ใช่อันตรกิริยาใหม่ เมื่อ \alpha=0 แรงโน้มถ่วงไม่ดึงตามผิว เมื่อเอียงมากขึ้น องค์ประกอบตามผิวเพิ่มและองค์ประกอบกดลด ขีดจำกัดเหล่านี้ช่วยไม่ให้สับสนไซน์กับโคไซน์

ขณะวัตถุยังสัมผัสพื้นเอียงที่อยู่นิ่ง ความเร่งตั้งฉากกับพื้นเป็นศูนย์ หากตามแกนนี้มีเพียงแรงปฏิกิริยาตั้งฉากกับองค์ประกอบแรงโน้มถ่วง จะได้ N-mg\cos\alpha=0 จึงมี N=mg\cos\alpha พื้นแนวนอนให้ mg เมื่อเกือบตั้งฉาก แรงกดน้อยลง หากมีแรงอื่นกดวัตถุ สมดุลนี้เปลี่ยน เพียงรู้ว่าเป็นพื้นเอียงยังหาแรงปฏิกิริยาไม่ได้

ใช้แบบจำลองการไถลกับแรงปฏิกิริยาที่หาได้: F_{\text{тр}}=\mu mg\cos\alpha เมื่อวัตถุไถลลงพื้นเอียงที่อยู่นิ่ง แรงเสียดทานชี้ขึ้น แต่หากโยนขึ้น แรงเสียดทานชี้ลงร่วมกับองค์ประกอบแรงโน้มถ่วงตามพื้น ความเร็วสัมพัทธ์เป็นตัวกำหนดทิศ ไม่ใช่แรงโน้มถ่วง หากวัตถุนิ่ง ให้หาแรงที่ต้องใช้เพื่อสมดุลก่อน แล้วเปรียบเทียบกับขีดจำกัดแรงเสียดทานสถิต

กลับมาที่ประตู ผลักตั้งฉากกับบานตรงมือจับจะหมุนง่าย แต่ผลักตามบานเข้าหาบานพับแทบไม่หมุน ทั้งตำแหน่งมือและแนวแรงสำคัญ ระยะแขนโมเมนต์ l คือระยะตั้งฉากจากแกนถึงแนวแรงในโจทย์ระนาบ มีหน่วยเมตรและอาจสั้นกว่าระยะจากแกนถึงมือ หากแนวแรงผ่านแกน แขนโมเมนต์เป็นศูนย์แม้ออกแรงที่มือจับไกล ๆ

ในโจทย์ระนาบ โมเมนต์อธิบายผลของแรงต่อการหมุน ขนาดคือ M=Fl หน่วย N·m เมื่อแขนเท่าเดิม แรงสองเท่าให้โมเมนต์สองเท่า หรือเมื่อแรงเท่าเดิม แขนสองเท่าก็ให้ผลเดียวกัน เมื่อ l=0 โมเมนต์เป็นศูนย์ แรงอาจกดบานพับโดยไม่หมุนประตู เลือกเครื่องหมายตามทิศหมุน แม้ N·m มีมิติเดียวกับจูล แต่โมเมนต์กับงานตอบคนละคำถาม

เพื่อให้วัตถุแข็งเกร็งที่เริ่มอยู่นิ่งยังคงสมดุลในระนาบ ต้องตรวจ \sum\vec F=0 และ \sum M=0 ข้อแรกทำให้ศูนย์กลางมวลไม่มีความเร่ง ข้อสองทำให้ไม่มีความเร่งเชิงมุม โมเมนต์ที่หมุนตรงข้ามกันมีเครื่องหมายต่างกัน ผลรวมศูนย์ไม่ได้หยุดการเคลื่อนที่ที่มีอยู่แล้ว สมดุลสถิตจึงต้องไม่มีการเลื่อนที่และการหมุนตั้งแต่แรกด้วย

ออกแรงตามเส้นสัมผัสขนาดเท่ากันและทิศตรงข้ามที่ขอบพวงมาลัยสองด้าน ผลรวมเวกเตอร์เป็นศูนย์ แต่ทั้งสองแรงหมุนไปทางเดียวกัน โมเมนต์จึงรวมกัน แรงคู่ควบนี้แสดงว่าตรวจแค่แรงลัพธ์ยังไม่พอสำหรับวัตถุมีขนาด อนุภาคจุดไม่มีขนาดและไม่ได้อธิบายการหมุน เมื่อเปลี่ยนมาศึกษาประตูหรือคาน ต้องขยายแบบจำลองและตรวจโมเมนต์ด้วย

เลื่อนมวล 50 kg ไถลขวาบนพื้นแนวนอน มีแรงดึง 40 N ไปขวา สัมประสิทธิ์เสียดทาน 0.02 ให้ g=10 м/с² จงหาความเร่ง

ไม่มีความเร่งแนวดิ่งหรือแรงแนวดิ่งอื่น: N=mg=500 Н.

แรงเสียดทานจลน์ชี้ซ้าย: Fтр=μN=0,02×500=10 Н.

แรงลัพธ์แนวนอน: 40−10=30 Н ชี้ขวา

ความเร่ง a=30/50=0,6 м/с² ชี้ขวา น้อยกว่า 40/50 เพราะแรงดึงส่วนหนึ่งสมดุลกับแรงเสียดทาน

เลื่อนมีความเร่ง 0.6 m/s² ชี้ขวา หากเงื่อนไขคงเดิม อัตราเร็วเพิ่ม 0.6 m/s ทุกวินาที จากแรงดึง 40 N เหลือแรงลัพธ์ 30 N หลังรวมแรงเสียดทาน หากไม่มีแรงเสียดทานความเร่งจะเป็น 0.8 m/s²

เลือกสูตรแรงหลังเลือกแบบจำลอง เช่น การเปลี่ยนรูปเล็ก การไถลแบบแห้ง หน้าสัมผัสนิ่ง หรือแรงดึงดูดของวัตถุที่เหมาะสม

หาแรงปฏิกิริยาตั้งฉากจากการเคลื่อนที่ตั้งฉากกับผิว N = mg และ Fтр = μmg ใช้ภายใต้เงื่อนไขเฉพาะ

วัตถุมีขนาดอาจหมุนได้แม้แรงลัพธ์ศูนย์ สมดุลสถิตต้องมีโมเมนต์สมดุลและสภาพเริ่มต้นที่เหมาะสมด้วย

ต่อไปจะอธิบายการชนด้วยโมเมนตัม