Силы и равновесие

Тяжёлую дверь легко открыть у ручки и трудно около петель. Брусок то стоит под действием тяги, то начинает скользить. Как понять заранее, какие силы действуют и что именно они изменят — движение целиком или вращение?

Мяч падает к Земле, а Земля притягивается к мячу. В модели Ньютона взаимное притяжение есть у любых масс, хотя между бытовыми предметами оно очень мало. Для двух материальных точек зададим массы m_1,m_2 в кг и расстояние r в метрах. Тела можно считать точками, когда их размерами допустимо пренебречь; для неперекрывающихся сферически симметричных тел точечный закон точно описывает притяжение через расстояние между центрами.

Опытная закономерность записывается F=Gm_1m_2/r^2, где G\approx6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2. Удвоение одной массы удваивает силу, удвоение обеих — увеличивает вчетверо. При удвоении расстояния сила уменьшается вчетверо: важна не просто удалённость, а её квадрат. При больших расстояниях притяжение ослабевает. Подставлять r=0 для реальных тел нельзя: точечная модель перестаёт описывать их расположение.

Подставим в закон притяжения массу планеты M и расстояние до её центра у поверхности R. Для небольшого тела F=GMm/R^2, поэтому из a=F/m следует g=GM/R^2 и F_{\text{тяж}}=mg. Масса падающего тела сократилась: большая масса усиливает и притяжение, и инертность в одинаковой пропорции. Планету считаем сферически симметричной, вращением пренебрегаем; далеко от поверхности расстояние до центра уже не равно R.

Подвесим груз к пружине: она растянется и потянет груз обратно. При смещении частиц материала меняется их взаимодействие, и возникает сила упругости, стремящаяся уменьшить деформацию. Обозначим \Delta l=l-l_0 в метрах — изменение длины относительно ненагруженной. При сжатии оно отрицательно, при растяжении положительно. Если после снятия нагрузки форма восстановилась, деформация упругая; это ещё не гарантирует линейной связи силы и удлинения.

Для небольшой деформации линейной пружины удвоение удлинения удваивает возвращающую силу. Эту область описывает закон Гука F_{\text{упр}}=k|\Delta l|. Жёсткость k в Н/м показывает, сколько силы приходится на метр деформации; более жёсткую пружину для того же удлинения нужно тянуть сильнее. Модуль не задаёт направления: сила направлена к восстановлению формы. При \Delta l=0 она нулевая; при больших деформациях пропорциональность может нарушиться ещё до разрушения.

На стоящего человека Земля действует вниз, а пол — вверх. Нормальная реакция N приложена к человеку и перпендикулярна опоре. Вес P — действие самого человека на опору или подвес вследствие притяжения к Земле; получатель здесь пол. У этих сил могут совпадать модули, но заменять ими друг друга на рисунке сил нельзя. Сначала называй два участника взаимодействия, затем ставь стрелку на того, чьё движение изучаешь.

Для горизонтального контакта без касательной составляющей сила тела на опору и сила опоры на тело образуют пару третьего закона. Поэтому их модули равны: P=N. Равенство верно и при ускорении опоры; оно само по себе ничего не говорит о mg. Вообрази лифт, начинающий двигаться вверх: пол сильнее толкает человека, а человек сильнее давит на пол. Чтобы найти это общее значение, нужно уравнение движения человека.

Если вертикально действуют только N вверх и mg вниз, при оси вверх получаем N-mg=ma_y. Отсюда N=mg лишь при a_y=0. Ускорение вверх увеличивает реакцию, ускорение вниз уменьшает её; в свободном падении a_y=-g и N=0. Дополнительная вертикальная тяга тоже изменит результат. Таким образом, привычное N=mg — вывод из условий, а не универсальное свойство опоры.

Брусок скользит по столу, и взаимодействие поверхностей тормозит их относительное скольжение. В модели сухого трения F_{\text{тр}}=\mu N: при большем прижатии больше сила сопротивления. Коэффициент \mu безразмерен и зависит от пары поверхностей и их состояния. Формула приближённая. Направление — вдоль контакта против относительного скольжения: на движущейся ленте трение может ускорять брусок относительно пола, а не тормозить его.

Потянем стоящий брусок сначала силой 1 Н, затем 2 Н, не сдвигая его. Трение покоя в этих опытах равно соответственно 1 и 2 Н: оно уравновешивает тягу. Возможности контакта ограничены: F_{\text{тр}}\leq\mu_{\text{п}}N. Равенство достигается на границе срыва, а при отсутствии горизонтальной тяги трение может быть нулевым. Коэффициент покоя \mu_{\text{п}} и коэффициент скольжения не обязаны совпадать.

На горизонтальном столе при отсутствии вертикального ускорения и дополнительных вертикальных сил N=mg. Если брусок именно скользит, подстановка даёт F_{\text{тр}}=\mu mg. Удвоение массы тогда удвоит трение. Но потяни тот же брусок наклонной верёвкой: часть тяги разгрузит опору, N уменьшится, и простая подстановка mg станет неверной. Перед применением объединённой формулы нужно проверить оба исходных условия.

Поставим брусок на склон с углом \alpha к горизонту и выберем оси вдоль и поперёк поверхности. Одна и та же тяжесть имеет составляющие F_{\parallel}=mg\sin\alpha вниз по склону и mg\cos\alpha к поверхности. Это проекции силы, а не два новых взаимодействия. При \alpha=0 вдоль поверхности тяжесть не тянет; по мере наклона этот вклад растёт, а прижатие уменьшается. Эти пределы помогают не перепутать синус и косинус.

Пока брусок сохраняет контакт с неподвижной плоскостью, его ускорение поперёк неё нулевое. Если по этой оси действуют только нормальная реакция и составляющая тяжести, N-mg\cos\alpha=0, то есть N=mg\cos\alpha. На горизонтали получаем mg, при приближении плоскости к вертикали — всё меньшее прижатие. Дополнительная сила, прижимающая брусок, изменила бы этот баланс; само название «наклонная плоскость» ещё не задаёт реакцию.

Теперь применим модель скольжения к найденному прижатию: F_{\text{тр}}=\mu mg\cos\alpha. При движении бруска вниз по неподвижному склону трение направлено вверх; если его бросили вверх, трение направлено вниз вместе с продольной составляющей тяжести. Направление задаёт относительная скорость, а не сила тяжести. Для стоящего бруска сначала ищут силу, нужную для равновесия, и сравнивают с пределом трения покоя.

Вернёмся к двери. Толчок у ручки поперёк двери поворачивает её легко, а толчок вдоль двери к петлям почти не поворачивает. Важно не только место руки, но и линия действия силы. Плечо l — перпендикулярное расстояние от оси до этой линии в плоской задаче. Оно измеряется в метрах и может быть меньше расстояния от оси до руки. Если линия проходит через ось, плечо нулевое даже у далёкой ручки.

В плоской задаче вращательное действие силы описывает момент: по модулю M=Fl, единица Н·м. При прежнем плече вдвое большая сила даёт вдвое больший момент; при прежней силе то же делает вдвое большее плечо. При l=0 момент исчезает: сила может нагружать петли, не поворачивая дверь. Знак выбирают по направлению вращения. Хотя Н·м совпадает по размерности с джоулем, момент силы и работа отвечают на разные вопросы.

Чтобы первоначально покоящееся твёрдое тело оставалось в равновесии, в плоской задаче проверяют \sum\vec F=0 и \sum M=0. Первая связь запрещает ускорение центра масс, вторая — угловое ускорение; у моментов противоположных направлений разные знаки. Нулевая сумма сама по себе не останавливает уже движущееся тело. Для равновесия как состояния покоя важно также начальное отсутствие поступательного движения и вращения.

Приложим к противоположным сторонам рулевого колеса равные противоположные касательные силы. Их векторная сумма нулевая, но обе поворачивают колесо в одну сторону: моменты складываются. Такая пара сил показывает, почему проверки одной суммы сил недостаточно для протяжённого тела. У материальной точки размеров нет и вращение не описывается; переходя к двери или рычагу, мы расширяем модель и добавляем проверку моментов.

Санки массой 50 кг скользят вправо по горизонтали. Тяга 40 Н вправо, коэффициент трения 0,02. Примите g=10 м/с². Найдите ускорение.

Вертикального ускорения и других вертикальных сил нет: N=mg=500 Н.

Трение скольжения направлено влево: Fтр=μN=0,02×500=10 Н.

Равнодействующая по горизонтали: 40−10=30 Н вправо.

Ускорение a=30/50=0,6 м/с² вправо. Оно меньше 40/50, поскольку часть тяги компенсирует трение.

Ускорение санок 0,6 м/с² вправо: их скорость при сохранении условий растёт на 0,6 м/с каждую секунду. Из тяги 40 Н только 30 Н остаётся после учёта трения; без него ускорение было бы 0,8 м/с².

Формулу силы выбирают после физической модели: малой деформации, сухого скольжения, покоя или притяжения подходящих тел.

Реакцию опоры получают из движения поперёк поверхности. Значения N = mg и Fтр = μmg имеют конкретные условия.

Протяжённое тело может вращаться при нулевой сумме сил. Для равновесия покоя нужны баланс моментов и подходящее начальное состояние.

Далее будем описывать столкновения через импульс.