โมเมนตัมและการขับเคลื่อนด้วยการพ่นมวล

รถเข็นสองคันชนแล้วติดกัน แรงกระแทกเปลี่ยนไปมากในเวลาเพียงเสี้ยววินาที เราหาความเร็วร่วมหลังชนโดยไม่ต้องรู้ทุกขณะระหว่างการชนได้หรือไม่ การเปรียบเทียบก่อนและหลังจะช่วยได้

รถเข็นว่างกับรถเข็นบรรทุกที่มีอัตราเร็วเท่ากันหยุดได้ยากไม่เท่ากัน ต้องคำนึงถึงทั้งความเร็วและมวล โมเมนตัมคือ p⃗ = mv⃗ มีหน่วย kg·m/s เวกเตอร์โมเมนตัมมีทิศเดียวกับความเร็ว บนแกนหนึ่งได้ pₓ = mvₓ เมื่อมวลหรือความเร็วเพิ่มเป็นสองเท่า โมเมนตัมเพิ่มเป็นสองเท่า และวัตถุอยู่นิ่งมีโมเมนตัมเป็นศูนย์ ความเร็วตรงข้ามกันให้โมเมนตัมตรงข้ามกัน หากบวกเฉพาะขนาดจะทำให้ข้อมูลสำคัญหายไป

เมื่อผลักรถเข็นเดิมด้วยแรงเดิมนานขึ้น การเคลื่อนที่จะเปลี่ยนมากขึ้น สำหรับมวลคงที่ เขียนกฎข้อที่สองของนิวตันได้เป็น J⃗ = F⃗Δt = Δp⃗ การดลของแรงลัพธ์เท่ากับการเปลี่ยนโมเมนตัมของวัตถุ หากแรงเปลี่ยน ให้ใช้ F⃗ เฉลี่ยในช่วงเวลานั้น หน่วย N·s กับ kg·m/s เท่ากัน เมื่อใช้แรงเฉลี่ยเท่าเดิมนานเป็นสองเท่า การเปลี่ยนโมเมนตัมเป็นสองเท่า หากแรงลัพธ์เฉลี่ยเป็นศูนย์ โมเมนตัมสุทธิจะไม่เปลี่ยนตลอดช่วงนั้น

ลองรับลูกบอลโดยให้มือแทบอยู่นิ่ง แล้วลองรับโดยผ่อนมือตามการเคลื่อนที่ หากความเร็วต้นและปลายของลูกบอลเหมือนกันทั้งสองกรณี Δp⃗ จะเท่ากัน แต่ครั้งที่สองใช้เวลาหยุดนานกว่า แรงเฉลี่ย Fср = Δp/Δt จึงน้อยกว่า หากเพิ่มเวลาหยุดเป็นสองเท่า แรงเฉลี่ยจะเหลือครึ่งหนึ่ง พื้นนุ่มและถุงลมนิรภัยใช้หลักนี้ คือกระจายการเปลี่ยนโมเมนตัมออกไปในเวลาที่นานขึ้น ไม่ได้ทำให้การเปลี่ยนโมเมนตัมหายไป

ลากขอบเขตรอบรถเข็นทั้งสองที่ชนกัน แรงที่รถออกต่อกันเป็นแรงภายในระบบที่เลือก ตามกฎข้อที่สามของนิวตัน แรงทั้งสองเท่ากันและทิศตรงข้ามทุกขณะ อีกทั้งกระทำเป็นเวลาเท่ากัน โมเมนตัมที่รถคันหนึ่งได้จึงเท่ากับที่อีกคันเสีย การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้หักล้างกันในผลรวม แม้ความเร็วของรถแต่ละคันอาจเปลี่ยนมาก

โมเมนตัมรวมยังเปลี่ยนได้หรือไม่ ได้ หากระบบได้รับการดลจากภายนอกในช่วงที่เลือก เมื่อการดลภายนอกสุทธิเป็นศูนย์หรือน้อยจนละเลยได้ จะได้ p⃗₁ + p⃗₂ = p⃗′₁ + p⃗′₂ เครื่องหมายไพรม์ระบุสภาพหลังอันตรกิริยา การชนที่สั้นมากบางครั้งทำให้ละเลยแรงเสียดทานภายนอกได้แม้มันมีอยู่ กฎอนุรักษ์ใช้กับระบบและช่วงเวลาที่เลือก ไม่ได้ใช้ได้โดยอัตโนมัติกับการชนทุกครั้ง

ให้รถเข็นเหมือนกันสองคันวิ่งเข้าหากันด้วยอัตราเร็วเท่ากัน โมเมนตัมรวมเป็นศูนย์แม้ทั้งคู่เคลื่อนที่ เพราะองค์ประกอบบวกและลบหักล้างกัน จึงต้องเลือกแกนและกำหนดเครื่องหมายก่อนแทนตัวเลข สิ่งที่อนุรักษ์คือผลรวม pₓ ไม่ใช่ผลรวมค่า mv ที่เป็นบวกทั้งหมด แม้ระบบหยุดนิ่งหลังชนก็ยังสอดคล้องกับการอนุรักษ์โมเมนตัมได้ แต่ต้องพิจารณาการเปลี่ยนรูปพลังงานแยกต่างหาก

หลังติดกัน รถเข็นเคลื่อนที่ด้วยความเร็วร่วม u จึงได้ m₁v₁ₓ + m₂v₂ₓ = (m₁ + m₂)uₓ มวลรวมนี้มีโมเมนตัมรวมเท่าเดิม หากเพิ่มมวลรถคันที่สองซึ่งเริ่มจากหยุดนิ่ง ความเร็วร่วมจะลดลง การชนไม่ยืดหยุ่นแบบนี้โดยทั่วไปทำให้พลังงานจลน์ลดลง บางส่วนไปสู่การเปลี่ยนรูปและพลังงานภายใน เราจะศึกษาการอนุรักษ์พลังงานในบทถัดไป การอนุรักษ์โมเมนตัมไม่ได้หมายความว่าพลังงานแต่ละรูปแบบคงเดิม

ลองนึกถึงจรวดไกลจากโลกซึ่งไม่มีอากาศรอบตัว จรวดพ่นแก๊สไปข้างหลังและให้โมเมนตัมแก่แก๊ส ระหว่างอันตรกิริยา แก๊สทำให้โมเมนตัมของจรวดเปลี่ยนในทิศตรงข้าม ระบบจรวดรวมกับแก๊สที่พ่นออกอยู่ภายใต้กฎโมเมนตัมรวมเดียวกัน จึงไม่ต้องผลักอากาศ หากตัดแก๊สออกจากระบบแล้วบังคับให้โมเมนตัมของจรวดที่กำลังเร่งคงเดิมเพียงอย่างเดียว ก็เป็นการเลือกขอบเขตระบบผิด

รถเข็นมวล 3 kg เคลื่อนไปทางขวาด้วยอัตราเร็ว 2 m/s แล้วชนติดกับรถเข็นมวล 1 kg ที่อยู่นิ่ง ไม่คิดการดลภายนอกในแนวราบ

เลือกรถเข็นทั้งสองเป็นระบบและกำหนดทิศขวาเป็นบวก ตามโจทย์ละเลยการดลภายนอกในแนวราบได้ องค์ประกอบโมเมนตัมรวมจึงคงตัว

ก่อนชน pₓ = 3 · 2 + 1 · 0 = 6 кг·м/с รถเข็นที่อยู่นิ่งมีมวล แต่มีโมเมนตัมต้นเป็นศูนย์

หลังติดกัน คู่รถเข็นที่เคลื่อนที่มีมวล 3 + 1 = 4 кг องค์ประกอบความเร็วร่วมคือ uₓ = 6/4 = 1,5 м/с.

ตรวจสอบ: 4 · 1,5 = 6 кг·м/с อัตราเร็วน้อยกว่าค่าเริ่มต้น 2 m/s เพราะโมเมนตัมเท่าเดิมอยู่ในมวลที่เคลื่อนที่มากขึ้น เครื่องหมายยังเป็นบวก

รถเข็นจะเคลื่อนที่ไปด้วยกันทางขวาด้วยอัตราเร็ว 1.5 m/s โมเมนตัมรวมยังเท่ากับ 6 kg·m/s

โมเมนตัมคำนึงถึงมวล ความเร็ว และทิศทาง แรงภายในถ่ายโอนโมเมนตัมระหว่างวัตถุ

โมเมนตัมรวมคงตัวเมื่อระบบที่เลือกไม่ได้รับการดลภายนอกที่มีนัยสำคัญ

การหยุดที่ใช้เวลานานขึ้นสำหรับการเปลี่ยนโมเมนตัมเท่าเดิมต้องใช้แรงเฉลี่ยน้อยลง

สำหรับการเคลื่อนที่เปลี่ยนระดับความสูงและการชะลอ เราจะเปรียบเทียบงานกับพลังงาน