Импульс и реактивное движение

Две тележки столкнулись и сцепились. Сила удара за долю секунды успела сильно измениться. Можно ли найти общую скорость, не восстанавливая каждый миг столкновения? Поможет сравнение того, что было до и стало после.

Одинаково быстрые пустую и гружёную тележки остановить неодинаково трудно. Нужно учитывать и скорость, и массу: импульс p⃗ = mv⃗, единица — кг·м/с. Вектор импульса направлен вдоль скорости; на оси pₓ = mvₓ. Удвоение массы или скорости удваивает импульс, а покой даёт нулевой импульс. Противоположные скорости дают противоположные импульсы: сложить только их модули означало бы потерять важную часть описания.

Толкая одну тележку одинаковой силой дольше, мы сильнее изменим её движение. При постоянной массе второй закон можно записать как J⃗ = F⃗Δt = Δp⃗: импульс равнодействующей равен изменению импульса тела. Для меняющейся силы F⃗ берут среднюю за этот промежуток. Единицы Н·с и кг·м/с совпадают. Удвоение времени при той же средней силе удваивает изменение; нулевая средняя равнодействующая не меняет суммарный импульс за интервал.

Поймай мяч сначала почти неподвижными ладонями, затем отведи руки по его движению. Если начальная и конечная скорости мяча те же, Δp⃗ одинаково. Но во втором случае остановка длится дольше, поэтому средняя сила Fср = Δp/Δt меньше. Удвоение времени уменьшает её вдвое. Это объясняет мягкую поверхность и подушку безопасности: они не отменяют изменение импульса, а распределяют его на большее время.

Обведём на рисунке сразу две сталкивающиеся тележки. Их силы друг на друга теперь внутренние для выбранной системы. По третьему закону в каждый момент они равны и противоположны, а действуют одно и то же время. Значит, прибавка импульса одной тележки равна убыли импульса другой. В общей сумме эти изменения сокращаются, хотя скорость каждой тележки по отдельности может сильно измениться.

Может ли общий импульс всё же измениться? Да, если за выбранное время система получает импульс извне. Когда суммарный внешний импульс нулевой или пренебрежимо мал, p⃗₁ + p⃗₂ = p⃗′₁ + p⃗′₂. Штрих обозначает состояние после взаимодействия. Короткий удар иногда позволяет пренебречь внешним трением, даже если оно существует. Сохранение относится к выбранной системе и промежутку, а не автоматически к любому столкновению.

Поставь две одинаковые тележки навстречу с равными модулями скорости. Их общий импульс равен нулю, хотя обе движутся: положительная и отрицательная проекции компенсируются. Поэтому до подстановки чисел выбирают ось и записывают знаки. Сохраняется сумма pₓ, а не сумма положительных величин mv. Если после удара система покоится, это вполне совместимо с сохранением импульса, но требует отдельно рассмотреть превращение энергии.

После сцепления тележки движутся вместе со скоростью u. Поэтому m₁v₁ₓ + m₂v₂ₓ = (m₁ + m₂)uₓ. Одна общая масса несёт прежний суммарный импульс. Если покоящуюся вторую тележку сделать тяжелее, общая скорость станет меньше. Кинетическая энергия при таком неупругом ударе обычно уменьшается: часть переходит в деформацию и внутреннюю энергию. Её сохранение отдельно изучим в следующем уроке; сохранение импульса не означает сохранения каждой формы энергии.

Вообрази ракету далеко от Земли, без воздуха вокруг. Она выбрасывает газ назад и сообщает ему импульс; по взаимодействию газ сообщает ракете противоположное изменение импульса. Для системы «ракета и выбрасываемый газ» сумма подчиняется тому же закону. Поэтому отталкиваться от воздуха не нужно. Убирать газ из системы, а затем требовать неизменного импульса одной разгоняющейся ракеты было бы неправильным выбором границы.

Тележка массой 3 кг едет вправо со скоростью 2 м/с и сцепляется с покоящейся тележкой 1 кг. Внешним горизонтальным импульсом пренебречь.

Выберем систему из обеих тележек и ось вправо. По условию внешним горизонтальным импульсом можно пренебречь, поэтому суммарная проекция импульса сохраняется.

До удара pₓ = 3 · 2 + 1 · 0 = 6 кг·м/с. Покоящаяся тележка имеет массу, но её начальный импульс нулевой.

После сцепления масса движущейся пары равна 3 + 1 = 4 кг. Общая скорость uₓ = 6/4 = 1,5 м/с.

Проверка: 4 · 1,5 = 6 кг·м/с. Скорость меньше исходных 2 м/с, поскольку тот же импульс теперь приходится на большую движущуюся массу; знак остаётся положительным.

Тележки будут двигаться вместе со скоростью 1,5 м/с вправо. Их общий импульс останется равным 6 кг·м/с.

Импульс учитывает массу, скорость и направление; внутренние силы перераспределяют его между телами.

Суммарный импульс сохраняется, когда выбранная система не получает существенного внешнего импульса.

Более долгая остановка при том же изменении импульса требует меньшей средней силы.

Для движения по высоте и торможения сравним работу и энергию.