สมดุลและจุดศูนย์ถ่วง

จับพวงมาลัยด้วยมือสองข้างแล้วออกแรงเท่ากันในทิศตรงข้าม ผลรวมแรงอาจเป็นศูนย์ แต่พวงมาลัยยังหมุนได้ การแทนวัตถุด้วยอนุภาคจุดเพียงจุดเดียวขาดสิ่งใดไป

สำหรับวัตถุที่มีขนาด ตำแหน่งที่แรงกระทำสำคัญพอ ๆ กับผลรวมแรง แรงเท่ากันแต่ทิศตรงข้ามที่ขอบคนละด้านของพวงมาลัยทำให้มันหมุนได้โดยศูนย์กลางไม่มีความเร่ง วัตถุแข็งเกร็งที่เริ่มต้นอยู่นิ่งจะคงสมดุลได้เมื่อทั้งแรงลัพธ์และโมเมนต์รวมเป็นศูนย์ เงื่อนไขแรกทำให้ไม่มีความเร่งเชิงเลื่อนที่ ส่วนเงื่อนไขที่สองป้องกันการเริ่มหมุน การแทนวัตถุด้วยจุดจึงไม่เพียงพอในโจทย์นี้

ลองผลักประตูด้วยแรงเท่ากันใกล้บานพับกับใกล้มือจับ ที่มือจับจะให้ผลมากกว่าเพราะแนวแรงอยู่ห่างแกนกว่า ระยะที่วัดตั้งฉากนี้เรียกว่าระยะแขนของแรง l ซึ่งไม่จำเป็นต้องเท่ากับความกว้างประตู หากผลักจากมือจับตามแนวบานประตูตรงไปยังบานพับ แนวแรงจะผ่านแกนและระยะแขนเป็นศูนย์ ดังนั้นทั้งจุดออกแรงและทิศของแรงจึงสำคัญ

จะเปรียบเทียบการออกแรงหมุนประตูสองครั้งได้อย่างไร ในโจทย์ระนาบ ขนาดโมเมนต์คือ M = Fl โดยนำแรง F หน่วยนิวตันคูณระยะแขน l หน่วยเมตร ได้หน่วย N·m เมื่อแรงหรือระยะแขนเพิ่มสองเท่า โมเมนต์เพิ่มสองเท่า เมื่อ l = 0 โมเมนต์เป็นศูนย์แม้แรงจะมาก โมเมนต์บอกผลการหมุนรอบแกนที่เลือก แม้มีมิติเหมือนงาน แต่ไม่ได้เป็นงานหรือพลังงาน

กำหนดเครื่องหมายหนึ่งให้การหมุนตามเข็มนาฬิกา และเครื่องหมายตรงข้ามให้การหมุนทวนเข็ม หากมีโมเมนต์สำคัญเพียงสองโมเมนต์ในทิศตรงข้าม สมดุลต้องเป็นไปตาม F₁l₁ = F₂l₂ เมื่อเพิ่มระยะแขนข้างหนึ่งเป็นสองเท่า จะลดแรงข้างนั้นเหลือครึ่งหนึ่งได้ แรงปฏิกิริยาที่จุดหมุนไม่สร้างโมเมนต์รอบจุดหมุนนั้นเพราะระยะแขนเป็นศูนย์ แต่ยังต้องรวมแรงปฏิกิริยาในการหาแรงลัพธ์

โลกดึงดูดทุกส่วนของวัตถุ ในสนามที่เกือบสม่ำเสมอ เราแทนผลรวมของแรงเหล่านี้ด้วยแรงโน้มถ่วงแรงเดียวที่มีแนวผ่านจุดศูนย์ถ่วงได้ สำหรับรูปทรงสมมาตรที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ หาได้จากสมมาตร จุดศูนย์ถ่วงของวงแหวนอยู่ในที่ว่าง เพราะเป็นจุดที่ใช้บรรยายผลของแรงที่กระจายอยู่ ไม่จำเป็นต้องมีเนื้อสาร ณ จุดนั้น หากความหนาแน่นไม่สม่ำเสมอ จุดนี้อาจเลื่อนจากศูนย์กลางทางเรขาคณิต

ตัดแผ่นวัตถุเป็นรูปใดก็ได้แล้วแขวนจากขอบ เหตุใดมันจึงหยุดในแนวหนึ่ง หากจุดศูนย์ถ่วงอยู่ข้างเส้นดิ่งผ่านจุดแขวน แรงโน้มถ่วงจะมีระยะแขนและทำให้แผ่นหมุน ในตำแหน่งสมดุลเสถียร จุดศูนย์ถ่วงอยู่ใต้จุดแขวน ลากเส้นดิ่งนี้ แล้วเปลี่ยนไปแขวนอีกจุดและลากเส้นดิ่งเส้นที่สอง จุดตัดคือจุดศูนย์ถ่วง โดยแผ่นต้องหมุนได้อิสระ ไม่ติดกับสิ่งรองรับ

ค่อย ๆ เอียงกล่องรอบขอบฐาน ขณะที่เส้นดิ่งผ่านจุดศูนย์ถ่วงยังอยู่ภายในฐาน แรงโน้มถ่วงจะพยายามให้กล่องกลับที่เดิม เมื่อเส้นดิ่งเลยขอบฐาน โมเมนต์ของแรงโน้มถ่วงจะทำให้กล่องล้มต่อไป ตำแหน่งตรงขอบคือกรณีขีดจำกัด เหตุผลนี้ใช้กับพื้นรองรับแนวราบที่ไม่มีผลทำให้ล้มเพิ่มเติม ความกว้างฐานกับความสูงจุดศูนย์ถ่วงร่วมกันกำหนดว่าจะเอียงได้มากเท่าใด

ทดสอบเสถียรภาพด้วยการขยับเล็กน้อย ลูกบอลในชามเคลื่อนกลับหลังถูกขยับ จึงเป็นสมดุลเสถียร บนยอดเนินลูกบอลเคลื่อนห่างออกไปอีก จึงเป็นสมดุลไม่เสถียร ส่วนบนพื้นราบจะอยู่ในตำแหน่งใหม่ได้ เป็นสมดุลสะเทิน คำว่ากลับหมายถึงมีผลทำให้กลับคืน หากไม่มีแรงเสียดทาน ลูกบอลอาจสั่นรอบจุดเดิมนานโดยไม่หยุดทันที เพียงเห็นว่าวัตถุอยู่นิ่งจึงยังแยกกรณีเหล่านี้ไม่ได้

แรง 30 N กระทำต่อคานโดยมีระยะแขน 0.4 m แรงที่มีระยะแขน 0.6 m ควรสร้างโมเมนต์ในทิศตรงข้ามเท่าใด ไม่คิดน้ำหนักคานและแรงเสียดทานที่จุดหมุน

เพื่อให้คานสมดุล โมเมนต์ที่สองต้องมีขนาดเท่ากับโมเมนต์แรกและหมุนตรงข้ามกัน เลือกจุดยึดเป็นแกน จะได้ว่าแรงปฏิกิริยาที่จุดยึดมีระยะแขนเป็นศูนย์

โมเมนต์แรกคือ M₁ = F₁l₁ = 30 · 0,4 = 12 Н·м.

เมื่อระยะแขนเท่ากับ 0.6 m หาแรงที่ต้องการจาก F₂l₂ = M₁ ได้ F₂ = 12/0,6 = 20 Н.

ระยะแขนที่สองยาวเป็น 1.5 เท่า แรงจึงน้อยลงเป็นสัดส่วน 1.5 เท่า เมื่อตรวจผลรวมแรงต้องรวมแรงปฏิกิริยาที่จุดหมุนด้วย การที่โมเมนต์เท่ากันไม่ได้ทดแทนการตรวจนี้

สมดุลต้องใช้แรง 20 N ที่มีระยะแขน 0.6 m เพื่อสร้างโมเมนต์ตรงข้ามขนาด 12 N·m

วัตถุที่มีขนาดหมุนได้แม้แรงลัพธ์เป็นศูนย์ จึงต้องตรวจโมเมนต์ด้วยเมื่อพิจารณาสมดุล

ระยะแขนคือระยะตั้งฉากถึงแนวแรง แรงที่ผ่านแกนไม่ทำให้วัตถุหมุนรอบแกนนั้น

เสถียรภาพขึ้นกับสิ่งที่เกิดหลังขยับเล็กน้อย ไม่ใช่เพียงว่าขณะนี้วัตถุอยู่นิ่งหรือไม่

วิธีถัดไปในการอธิบายอันตรกิริยาคือการติดตามโมเมนตัมของทั้งระบบ