พารามิเตอร์การสั่นและลูกตุ้ม

ชิงช้ามุ่งสู่จุดต่ำสุด แต่เมื่อถึงแล้วกลับไม่หยุด เหตุใดแรงคืนสู่สมดุลจึงไม่ทำให้หยุดนิ่งทันที และสิ่งใดกำหนดเวลาที่การเคลื่อนที่จะซ้ำเดิม

ดึงมวลที่ติดสปริงออกแล้วปล่อย แรงคืนสู่สมดุลเร่งมันเข้าหาตำแหน่งสมดุลเสถียร แต่เมื่อถึงสมดุล มวลกำลังเคลื่อนที่อยู่ การที่แรงคืนสู่สมดุลเป็นศูนย์ในขณะนั้นไม่ได้ทำให้ความเร็วหายไป ความเฉื่อยทำให้มวลผ่านเลยไป แล้วแรงจึงชี้กลับ ผลคืนสู่สมดุลร่วมกับความเฉื่อยทำให้เกิดการสั่น หากไม่มีความเฉื่อย มวลจะไม่เลยจุดสมดุล และหากไม่มีแรงคืน มันจะไม่วกกลับ

ติดตามพลังงานของระบบสั่น ที่ตำแหน่งปลายสุด อัตราเร็วเป็นศูนย์ชั่วขณะและพลังงานศักย์มากที่สุด เมื่อเคลื่อนเข้าสู่สมดุล พลังงานศักย์ลดและเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์ อัตราเร็วมากที่สุดที่สมดุล จากนั้นการแลกเปลี่ยนย้อนกลับ หากสูญเสียน้อย รอบการเคลื่อนที่แทบซ้ำเดิม พลังงานไม่ได้สร้างขึ้นทุกครั้งที่ผ่าน แต่ระบบใช้พลังงานจากการดึงออกครั้งแรก และการสูญเสียค่อย ๆ ลดพลังงานสะสมนี้

จะเปรียบเทียบว่ามวลสองชิ้นแกว่งกว้างเพียงใดได้อย่างไร แอมพลิจูด A คือขนาดการกระจัดจากสมดุลที่มากที่สุด มีหน่วย SI เป็นเมตร หากพิกัดปลายสุดเป็น −3 cm กับ +3 cm จะได้ A = 3 см แต่ช่วงกว้างระหว่างปลายสุดคือ 6 cm แอมพลิจูดสองเท่าทำให้ช่วงกว้างสองเท่า แต่ยังไม่ได้บอกเวลาต่อรอบ พิกัดเฉลี่ยอาจเป็นศูนย์แม้สั่นกว้างมาก

มวลผ่านสมดุลสองครั้งต่อรอบ ครั้งหนึ่งไปขวาและอีกครั้งไปซ้าย แต่ละครั้งนับเป็นการสั่นครบหนึ่งรอบได้หรือไม่ ไม่ได้ เพราะหนึ่งรอบต้องกลับสู่ตำแหน่งเดิมพร้อมทิศการเคลื่อนที่เดิม คาบ T คือเวลาของรอบนี้เป็นวินาที จากปลายซ้ายถึงปลายขวาใช้เพียง T/2 และต้องกลับมาอีก จึงสะดวกที่จะเริ่มนับจากตำแหน่งปลายสุดซึ่งสังเกตการเปลี่ยนทิศได้ง่าย

หากคาบสั้น เวลาตอบสนองของคนขณะกดนาฬิกาอาจมากเมื่อเทียบกับหนึ่งรอบ ให้วัดเวลารวม t ของการสั่นเต็มรอบ N ครั้ง แล้วหาร: T = t/N ในที่นี้ N คือจำนวนรอบที่ไม่มีมิติ ไม่ใช่สัญลักษณ์กำลังจากบทก่อน จำนวนรอบสองเท่าใช้เวลาสองเท่า แต่คาบคงเดิม วิธีนี้ลดความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์จากการกดเริ่ม แต่ไม่แก้การนับผิดหรือความคลาดเคลื่อนเชิงระบบของนาฬิกา

จังหวะเดิมอธิบายได้ด้วยจำนวนรอบเต็มต่อวินาที ความถี่คือ ν = N/t = 1/T มีหน่วยเฮิรตซ์: 1 Гц = 1 с⁻¹ เมื่อ T = 0,5 с จะได้ ν = 2 Гц หนึ่งรอบที่นานขึ้นหมายถึงจำนวนรอบต่อวินาทีน้อยลง การเพิ่ม T สองเท่าทำให้ ν เหลือครึ่งหนึ่ง ความถี่กับคาบไม่ใช่ปริมาณอิสระต่อกัน แต่บอกอัตราการซ้ำเดียวกันด้วยคนละวิธี

เพื่อคำนวณคาบลูกตุ้มแขวนเชือก ให้ลดรูปเป็นมวลเล็กที่หนักแขวนด้วยเชือกไร้มวลและไม่ยืด โดยมีแรงต้านน้อย นี่คือลูกตุ้มอย่างง่าย ความยาว l วัดจากจุดแขวนถึงศูนย์กลางมวล เมื่อมุมเล็ก ผลคืนสู่สมดุลแปรผันโดยประมาณกับการกระจัด จึงได้ T = 2π√(l/g) อัตราส่วนใต้รากมีหน่วย s² แบบจำลองอธิบายจังหวะการแกว่งได้ แต่ไม่จำเป็นต้องให้ความแม่นยำสูงสำหรับชิงช้าจริงที่แกว่งกว้าง

เปลี่ยนเป็นมวลที่หนักขึ้นโดยคงความยาวเดิม แรงโน้มถ่วงกับความเฉื่อยเพิ่มไปพร้อมกัน มวลจึงตัดออกจากคาบ ส่วนเชือกที่ยาวสี่เท่าให้คาบสองเท่าเพราะมีรากที่สอง ค่า g มากขึ้นทำให้กลับเร็วขึ้นและคาบสั้นลง แอมพลิจูดไม่ปรากฏเฉพาะในการประมาณมุมเล็ก หากแกว่งกว้างขึ้นมากจะพ้นเงื่อนไขนี้และคาบเปลี่ยน

สำหรับมวลที่ติดสปริงอุดมคติ ค่าคงตัวสปริง k กำหนดผลคืนสู่สมดุล ส่วนมวล m ต้านการเปลี่ยนความเร็ว ความสัมพันธ์ของทั้งสองให้ T = 2π√(m/k) โดย m หน่วยกิโลกรัมและ k หน่วย N/m มวลสี่เท่าให้คาบสองเท่า ส่วนค่าคงตัวสปริงสี่เท่าให้คาบครึ่งหนึ่ง สปริงเป็นไปตามกฎของฮุค คาบในแบบจำลองจึงไม่ขึ้นกับแอมพลิจูดตราบใดที่การเปลี่ยนรูปยังอยู่ในช่วงเชิงเส้น

เปลี่ยนระบบมวลติดสปริงจากแนวราบเป็นแนวดิ่ง มวลยืดสปริงจนถึงสมดุลใหม่ที่แรงยืดหยุ่นสมดุลกับแรงโน้มถ่วง เมื่อขยับเล็กน้อยจากจุดนี้ แรงคืนสู่สมดุลเพิ่มเติมยังขึ้นกับ k คาบจึงยังเป็น 2π√(m/k) แบบจำลองถือว่ามวลสปริงและการสูญเสียน้อยจนละเลยได้ หากสปริงหนัก มีแรงเสียดทาน หรือพ้นกฎของฮุค ต้องปรับการคำนวณ

มวลสั่นครบ 12 รอบในเวลา 18 s จงหาคาบและความถี่

แยกเวลาต่อหนึ่งรอบจากจำนวนรอบต่อวินาที ข้อมูลที่วัดคือ 12 รอบเต็มใน 18 s

T = t/N = 18/12 = 1,5 с คือเวลาเฉลี่ยที่กลับสู่สภาพเดิม

ν = N/t = 12/18 ≈ 0,67 Гц ตรวจด้วยส่วนกลับได้ 1/T = 1/1,5 ≈ 0,67 Гц.

คาบมากกว่าหนึ่งวินาที จึงสั่นได้ไม่ถึงหนึ่งรอบเต็มต่อวินาที ผลคูณ νT เท่ากับหนึ่งภายในความคลาดเคลื่อนจากการปัดเศษ

T = 1,5 с, ν ≈ 0,67 Гц หนึ่งรอบใช้เวลาหนึ่งวินาทีครึ่ง จึงสั่นได้ประมาณสองในสามรอบต่อวินาที

การสั่นเกิดจากผลคืนสู่สมดุลร่วมกับความเฉื่อย โดยพลังงานเปลี่ยนระหว่างรูปแบบพลังงานกล

แอมพลิจูดบอกขนาดการกระจัด คาบและความถี่บอกจังหวะการซ้ำ โดย ν = 1/T

คาบของลูกตุ้มอย่างง่ายกับระบบมวลติดสปริงมาจากแบบจำลองต่างกัน และแต่ละแบบมีข้อจำกัดชัดเจน

ต่อไปจะแยกการสั่นอิสระ การสั่นแบบหน่วง และการสั่นแบบบังคับ