Параметры колебаний и маятники

Качели стремятся к нижней точке, но, достигнув её, не останавливаются. Почему возвращающее действие не приводит сразу к покою и от чего зависит время повторения движения?

Оттяни груз на пружине и отпусти. Возвращающая сила начинает разгонять его к устойчивому равновесию. Но у равновесия груз уже движется: исчезновение возвращающей силы в этот миг не отменяет скорость. По инерции он проходит дальше, и теперь сила направлена обратно. Так возвращающее действие вместе с инерцией создаёт колебания. Без инерции груз не проскочил бы равновесие, без возвращающего действия не повернул бы назад.

Проследим за энергией маятника. У края скорость на мгновение нулевая, а потенциальная энергия максимальна. По мере движения к равновесию она уменьшается, превращаясь в кинетическую; скорость там наибольшая. Затем обмен идёт обратно. При малых потерях цикл почти повторяется. Энергия не создаётся при каждом проходе: система использует запас, сообщённый первоначальным отклонением; потери постепенно уменьшают этот запас.

Как сравнить, насколько широко качаются два груза? Амплитуда A — наибольшее по модулю отклонение от равновесия, в СИ измеряемое в метрах. Если крайние координаты −3 см и +3 см, A = 3 см, а размах между ними 6 см. Удвоенная амплитуда удваивает размах, но сама по себе ещё не говорит, сколько времени занимает цикл. Средняя координата может быть нулевой и при больших колебаниях.

Груз дважды за цикл проходит равновесие: один раз вправо, другой влево. Можно ли каждый проход считать новым полным колебанием? Нет: полный цикл возвращает систему в то же положение с тем же направлением движения. Период T — время такого цикла в секундах. От левого края до правого проходит лишь T/2; нужен путь обратно. Удобно начинать счёт с края, где изменение направления легко заметить.

Если период короткий, ошибка реакции человека при запуске секундомера может быть велика по сравнению с одним циклом. Измерим общее время t для N полных колебаний и разделим: T = t/N. N здесь безразмерное число циклов, а не мощность из прошлого урока. При вдвое большем числе циклов время также удвоится, период сохранится. Метод уменьшает относительную ошибку запуска, но не исправляет неверный счёт или систематическую ошибку часов.

Можно задать тот же ритм иначе: сколько полных циклов приходится на секунду? Частота ν = N/t = 1/T, её единица — герц, 1 Гц = 1 с⁻¹. При T = 0,5 с получается ν = 2 Гц. Чем дольше один цикл, тем меньше их за секунду: удвоение T уменьшает ν вдвое. Частота и период не две независимые характеристики; они сообщают об одном темпе повторения разными способами.

Чтобы рассчитать период нитяного маятника, упростим его: малый тяжёлый груз, невесомая нерастяжимая нить, малое сопротивление. Это математический маятник. Длина l измеряется от подвеса до центра груза. При малых углах возвращающее действие приблизительно пропорционально отклонению, и T = 2π√(l/g). Подкоренное отношение имеет единицу с². Модель объясняет ритм, но не обязана описывать широкие качания реальных качелей с высокой точностью.

Замени груз на более тяжёлый при прежней длине. Тяжесть и инертность вырастут одинаково, поэтому масса из периода исключается. А нить вчетверо большей длины даст T вдвое больше из-за квадратного корня. Увеличение g ускоряет возврат и уменьшает период. Амплитуда в формуле отсутствует только в приближении малых углов: сильное увеличение размаха выводит маятник из этого условия и меняет период.

У груза на идеальной пружине возвращающее действие задаёт жёсткость k, а сопротивление изменению скорости — масса m. Их соперничество даёт T = 2π√(m/k), где m в килограммах, k в Н/м. Четырёхкратная масса удваивает период, четырёхкратная жёсткость уменьшает его вдвое. Пружина действует по закону Гука, поэтому в этой модели период не зависит от амплитуды, пока деформация остаётся в линейной области.

Повернём пружинный маятник из горизонтального положения в вертикальное. Груз растянет пружину до нового равновесия, где упругость компенсирует тяжесть. При малом отклонении от этой точки добавочная возвращающая сила снова определяется k, поэтому период остаётся 2π√(m/k). Модель предполагает пренебрежимо малую массу пружины и потери. Тяжёлая пружина, трение или выход за закон Гука требуют уточнения расчёта.

Груз совершил 12 полных колебаний за 18 с. Найдите период и частоту.

Нужно различить время одного цикла и число циклов за секунду. Измерено 12 полных циклов за 18 с.

T = t/N = 18/12 = 1,5 с: столько в среднем занимает возвращение к тому же состоянию.

ν = N/t = 12/18 ≈ 0,67 Гц. Проверка через обратную величину даёт 1/T = 1/1,5 ≈ 0,67 Гц.

Период больше секунды, поэтому за секунду система проходит меньше одного полного цикла; произведение νT равно единице с точностью округления.

T = 1,5 с, ν ≈ 0,67 Гц. Один цикл занимает полторы секунды, а за секунду совершается примерно две трети цикла.

Колебания возникают, когда возвращающее действие сочетается с инерцией; энергия переходит из одной механической формы в другую.

Амплитуда описывает размер отклонения, период и частота — ритм, причём ν = 1/T.

Периоды нитяного и пружинного маятников относятся к разным моделям с явно заданными ограничениями.

Далее различим свободные, затухающие и вынужденные колебания.