ความหนาแน่นและแรงพยุง

ตะปูเหล็กจม แต่เรือเหล็กลอยน้ำได้ แปลว่าน้ำรู้จักเหล็กต่างกันหรือ ลองเปรียบเทียบว่าวัตถุแต่ละอย่างแทนที่น้ำเท่าใด และผลต่างความดันทำให้เกิดแรงเท่าใด

มวลร่วมกับ g กำหนดแรงโน้มถ่วง ส่วนปริมาตรกำหนดปริมาณน้ำที่วัตถุแทนที่ได้ อัตราส่วนของทั้งสองจึงช่วยเรื่องการลอย คือความหนาแน่นเฉลี่ย \rho=m/V หน่วย kg/m³ สำหรับตัวเรือกลวงที่ปิดสนิท V รวมช่องว่างภายใน และ m รวมมวลทุกสิ่งที่บรรจุอยู่ หากเพิ่มปริมาตรนี้โดยมวลเท่าเดิม ความหนาแน่นเฉลี่ยจะลดลง แต่เมื่อน้ำเข้าไปข้างใน จะนับปริมาตรภายนอกทั้งหมดเป็นปริมาตรน้ำที่ถูกแทนที่ไม่ได้อีก

ความหนาแน่น 1000 kg/m³ หมายถึงสารเนื้อเดียวแต่ละลูกบาศก์เมตรมีมวล 1000 kg ดังนั้นปริมาตร V มีมวล m=\rho V เพิ่มปริมาตรเป็นสองเท่าที่ความหนาแน่นเท่าเดิม ทำให้มวลเป็นสองเท่า การแปลงหน่วยเกี่ยวข้องกับทั้งสองปริมาณ: 1\,\text{г/см}^3=10^{-3}\,\text{кг}/10^{-6}\,\text{м}^3=1000\,\text{кг/м}^3 ค่านี้คือความหนาแน่นโดยประมาณของน้ำ ซึ่งขึ้นกับอุณหภูมิ

พิจารณาแท่งสี่เหลี่ยมที่จมในของเหลว สูง h และมีพื้นที่ฐาน S ความดันด้านล่างมากกว่าด้านบน \rho gh ผลต่างแรงแนวดิ่งจึงเป็น \rho ghS=\rho gV แรงด้านข้างหักล้างกันเป็นคู่ สำหรับรูปร่างใด ๆ ให้จินตนาการแทนวัตถุด้วยของเหลวที่อยู่นิ่งซึ่งมันแทนที่ ความดันรอบข้างชุดเดิมจะพยุงน้ำหนักของเหลวนั้น ดังนั้นแรงลัพธ์บนวัตถุจึงชี้ขึ้นและเท่ากับน้ำหนักตัวกลางที่ถูกแทนที่

จึงได้หลักของอาร์คิมีดีส F_A=\rho_{\text{ср}}gV_{\text{погр}} ที่นี่ดัชนี ср หมายถึงตัวกลาง คือของเหลวหรือแก๊ส และ V_{\text{погр}} คือปริมาตรที่วัตถุกันไม่ให้ตัวกลางเข้าไปอยู่ ความหนาแน่นวัสดุของวัตถุเองไม่อยู่ในสูตร เพิ่มปริมาตรที่แทนที่หรือความหนาแน่นตัวกลางเป็นสองเท่า ทำให้แรงหน่วยนิวตันเพิ่มเป็นสองเท่า หากไม่มีส่วนจม แรงพยุงจากตัวกลางนั้นก็ไม่มี

กฎรูปนี้ใช้กับตัวกลางที่อยู่นิ่ง มีความหนาแน่นเกือบคงตัว และ g แทบคงตัว ตัวกลางรอบข้างต้องออกแรงดันบนผิววัตถุ หากวัตถุแนบก้นภาชนะจนปิดสนิท ของเหลวเข้าใต้ชิ้นวัตถุไม่ได้ จึงไม่มีแรงดันจากด้านล่าง และใช้ข้อสรุปสำหรับวัตถุที่มีของเหลวล้อมรอบไม่ได้ ขณะเคลื่อนที่อาจมีแรงต้านเพิ่มจากแรงพยุง ซึ่งไม่ได้รวมอยู่ใน \rho gV โดยอัตโนมัติ

วางแท่งเบาบนน้ำ ขณะจมลง ปริมาตรน้ำที่ถูกแทนที่เพิ่มและแรงพยุงเพิ่ม เมื่อลอยนิ่งโดยมีเพียงแรงโน้มถ่วงกับแรงพยุง F_A=mg การเพิ่มสิ่งบรรทุกเพิ่ม mg จึงต้องแทนที่น้ำมากขึ้นเพื่อสมดุลใหม่ แต่น้ำไม่ได้พยุงสิ่งบรรทุกใด ๆ ได้เสมอ เมื่อจมทั้งชิ้นแล้ว ปริมาตรที่แทนที่จะไม่เพิ่มอีกหากวัตถุคงรูปร่าง

แทน m=\rho_{\text{т}}V และ F_A=\rho_{\text{ср}}gV_{\text{погр}} ในเงื่อนไขสมดุล ได้ V_{\text{погр}}/V=\rho_{\text{т}}/\rho_{\text{ср}} วัตถุที่มีความหนาแน่นครึ่งหนึ่งของน้ำจะจมครึ่งหนึ่งของปริมาตร ไม่จำเป็นต้องเป็นครึ่งความสูงหากพื้นที่หน้าตัดเปลี่ยน อัตราส่วนมากกว่าหนึ่งต้องการแทนที่น้ำมากกว่าปริมาตรทั้งหมด จึงลอยอิสระที่ผิวไม่ได้ หากความหนาแน่นเท่ากัน อาจสมดุลขณะจมทั้งชิ้นได้

เลื่อนแท่งแข็งที่จมทั้งชิ้นให้ลึกขึ้น ความดันบนและล่างเพิ่มเท่ากัน ผลต่างจึงคงเดิม เมื่อ \rho, g และปริมาตรเท่าเดิม แรงพยุงไม่เปลี่ยน แต่ฟองอากาศต่างออกไป เพราะถูกอัดเมื่ออยู่ลึก แทนที่น้ำน้อยลงและมีแรงพยุงน้อยลง เงื่อนไขว่าวัตถุไม่ยุบตัวอธิบายว่าทำไมจึงใช้เหตุผลเดียวกันกับวัตถุทุกชนิดไม่ได้

แท่งวัตถุมวล 0.4 kg ลอยในน้ำ มันแทนที่น้ำปริมาตรเท่าใด กำหนด ρводы=1000 кг/м³

เมื่อลอยโดยไม่มีความเร่ง FA=mg และ FA=ρводы gVпогр

เท่ากันได้เป็น ρводы gVпогр=mg ความเร่ง g ตัดกัน

Vпогр=m/ρводы=0,4/1000=0,0004 м³.

ตรวจสอบ: คือน้ำ 0.4 L ที่มีมวล 0.4 kg ซึ่งมีน้ำหนักเท่ากับแท่งจริง

ปริมาตรส่วนจมคือ 0.0004 m³ = 0.4 L น้ำ 0.4 L นี้มีมวล 0.4 kg น้ำหนักน้ำเท่ากับแรงพยุงที่รองรับแท่ง หากไม่ทราบความหนาแน่นของแท่ง จะหาปริมาตรทั้งหมดจากข้อมูลนี้ไม่ได้

แรงพยุงเกิดจากผลต่างความดันและเท่ากับน้ำหนักตัวกลางที่ถูกแทนที่ สูตรจึงใช้ความหนาแน่นตัวกลางและปริมาตรที่ถูกแทนที่

วัตถุที่ลอยแทนที่ของเหลวมากพอให้สมดุลกับแรงโน้มถ่วง ช่องว่างช่วยได้เฉพาะเมื่อปริมาตรที่นับกันน้ำออกไว้ได้จริง

ความลึกเพียงอย่างเดียวไม่เพิ่มแรงพยุงบนวัตถุแข็งที่จมทั้งชิ้นในของเหลวเนื้อเดียว

ต่อไปเราจะเปลี่ยนจากสมบัติของสารโดยรวมไปสู่จำนวนอนุภาคของสาร