Плотность и сила Архимеда

Стальной гвоздь тонет, а стальной корабль держится на воде. Значит ли это, что вода по-разному «узнаёт» сталь? Сравним, сколько воды вытесняет каждый объект и какую силу создаёт разность давлений.

Масса вместе с g определяет силу тяжести, а объём — сколько воды объект может вытеснить. Поэтому для плавания полезно их отношение: средняя плотность \rho=m/V в кг/м³. Для герметичного полого корпуса V включает внутренние пустоты, а m — массу всего содержимого. Если при прежней массе увеличить такой объём, средняя плотность уменьшится. Когда вода затекает внутрь, прежний внешний объём уже нельзя целиком считать объёмом вытесненной воды.

Плотность 1000 кг/м³ означает, что каждый кубический метр однородного вещества имеет массу 1000 кг. Поэтому для объёма V масса m=\rho V. Удвоение объёма при той же плотности удваивает массу. Перевод тоже затрагивает обе величины: 1\,\text{г/см}^3=10^{-3}\,\text{кг}/10^{-6}\,\text{м}^3=1000\,\text{кг/м}^3. Это приблизительное значение плотности воды, зависящее от температуры.

Рассмотрим погружённый прямоугольный брусок высотой h и площадью основания S. Давление снизу больше верхнего на \rho gh, поэтому разность вертикальных сил равна \rho ghS=\rho gV. Боковые силы попарно компенсируются. Для произвольной формы мысленно заменим тело вытесненной покоящейся жидкостью: те же окружающие давления удерживали бы её вес. Значит, их результирующая на тело направлена вверх и равна весу вытесненной среды.

Получили закон Архимеда: F_A=\rho_{\text{ср}}gV_{\text{погр}}. Здесь индекс «ср» означает среду — жидкость или газ, а V_{\text{погр}} — объём, который тело не даёт ей занять. Плотность материала самого тела в формулу не входит. Удвоение вытесненного объёма или плотности среды удваивает силу в ньютонах. Если погружённая часть исчезает, исчезает и соответствующее выталкивание этой среды.

В таком виде закон относится к покоящейся среде примерно постоянной плотности при практически постоянном g. Давление должно действовать на поверхность со стороны окружающей среды. Если тело герметично прижато ко дну, под него не попадает жидкость и нижнее давление отсутствует: вывод для окружённого жидкостью тела применять нельзя. При движении к выталкиванию могут добавляться силы сопротивления; они не включены автоматически в \rho gV.

Положим лёгкий брусок на воду. Пока он погружается, вытесненный объём растёт и выталкивание усиливается. При спокойном плавании, когда действуют только тяжесть и сила Архимеда, F_A=mg. Новый груз увеличивает mg, поэтому для нового равновесия приходится вытеснить больше воды. При этом вода не обязана уравновесить любой груз: после полного погружения объём вытеснения больше не растёт, если тело сохраняет форму.

Подставим m=\rho_{\text{т}}V и F_A=\rho_{\text{ср}}gV_{\text{погр}} в условие равновесия. Получим V_{\text{погр}}/V=\rho_{\text{т}}/\rho_{\text{ср}}. Тело с половиной плотности воды погружается наполовину по объёму; не обязательно наполовину по высоте, если сечение меняется. При отношении больше единицы требуемое вытеснение превышает полный объём, и свободное плавание на поверхности невозможно. При равных плотностях возможно равновесие в полном погружении.

Опустим полностью погружённый жёсткий брусок глубже. Сверху и снизу давление возрастёт на одну и ту же добавку, а разность останется прежней. Поэтому при прежних \rho, g и объёме сила Архимеда не изменится. Воздушный пузырь — другой случай: на глубине он сжимается, вытесняет меньше воды и испытывает меньшее выталкивание. Ограничение о несжимаемом теле объясняет, почему одно и то же рассуждение не подходит всем объектам.

Брусок массой 0,4 кг плавает в воде. Какой объём воды он вытесняет? ρводы=1000 кг/м³.

При плавании без ускорения FA=mg, а FA=ρводы gVпогр.

Приравниваем: ρводы gVпогр=mg. Ускорение g сокращается.

Vпогр=m/ρводы=0,4/1000=0,0004 м³.

Проверка: это 0,4 л воды массой 0,4 кг, которая действительно весит столько же, сколько брусок.

Погружённый объём 0,0004 м³ = 0,4 л. Эти 0,4 л воды имеют массу 0,4 кг: их вес и равен выталкиванию, удерживающему брусок. Полный объём бруска без знания его плотности отсюда не определяется.

Выталкивание возникает из разности давлений и равно весу вытесненной среды. Поэтому в формулу входят её плотность и вытесненный объём.

Плавающее тело вытесняет столько жидкости, сколько нужно для равновесия его тяжести. Полости помогают лишь пока учитываемый объём действительно исключает воду.

Глубина сама по себе не увеличивает выталкивание жёсткого полностью погружённого тела в однородной жидкости.

Далее перейдём от свойств целого вещества к числу его частиц.