ประจุและสนามไฟฟ้า

วางประจุทดสอบบวกและลบทีละตัวที่จุดเดียวกัน ต้นกำเนิดยังเหมือนเดิม แต่แรงชี้สวนทางกัน เราจะอธิบายผลรอบต้นกำเนิดโดยแยกออกจากสมบัติของวัตถุทดสอบได้อย่างไร?

เมื่อทำให้วัตถุสองชิ้นมีประจุ ชิ้นหนึ่งอาจมีอิเล็กตรอนเกิน ส่วนอีกชิ้นขาดอิเล็กตรอน อิเล็กตรอนมีประจุลบ วัตถุที่รับอิเล็กตรอนจึงเป็นลบ ส่วนที่เสียอิเล็กตรอนเป็นบวก ประจุไฟฟ้า q วัดเป็นคูลอมบ์ C และต้องคิดเครื่องหมายด้วย การทำให้มีประจุทั่วไปเป็นการกระจายประจุใหม่ การถูไม่ได้สร้างประจุขึ้นจากความว่างเปล่า ความเป็นกลางหมายถึงประจุบวกและลบหักล้างกัน ไม่ใช่ไม่มีอนุภาคมีประจุ

ล้อมระบบที่แยกทางไฟฟ้าด้วยขอบเขตสมมติ หากไม่มีประจุผ่านขอบเขต q_1+q_2+\ldots+q_n=\text{const} นี่คือกฎการอนุรักษ์ประจุ ดัชนีแทนวัตถุต่างกันและผลรวมเป็นผลรวมเชิงพีชคณิต การถ่ายโอนอิเล็กตรอนอาจเปลี่ยนแต่ละพจน์อย่างมากแต่ผลรวมคงเดิม เช่น ประจุบวกและลบขนาดเท่ากันยังให้ผลรวมศูนย์ การต่อลงดินเปิดทางให้ประจุแลกเปลี่ยนได้ จึงต้องตรวจสอบขอบเขตที่เลือก

ประจุชนิดเดียวกันผลักกัน ต่างชนิดกันดึงดูดกัน สำหรับประจุจุดที่อยู่นิ่ง แรงอยู่ตามเส้นที่เชื่อมทั้งสอง เพราะไม่มีแนวอื่นที่เด่นเฉพาะสำหรับประจุคู่นี้ แบบจำลองประจุจุดใช้ได้เมื่อขนาดวัตถุเล็กจนละเลยได้เทียบกับระยะห่าง ขนาดแรงขึ้นกับประจุทั้งสอง ระยะทาง และตัวกลาง ควรวาดทิศแรงก่อนคำนวณ เพื่อใช้ลักษณะการดึงดูดหรือผลักเป็นการตรวจสอบอีกทาง

ประจุที่วางในสารทำให้ประจุภายในสารจัดเรียงใหม่ ตัวกลางจึงเปลี่ยนอันตรกิริยารวม ให้ r เป็นระยะห่างระหว่างต้นกำเนิดในหน่วยเมตร และ \varepsilon เป็นสภาพยอมสัมพัทธ์ของตัวกลางซึ่งไร้มิติ ในสุญญากาศ \varepsilon=1 สูตรอย่างง่ายต่อไปนี้สมมติว่าตัวกลางสม่ำเสมอทั่วบริเวณที่พิจารณา จะใช้ตัวเลขเดียวแทนขอบเขตระหว่างวัสดุใด ๆ โดยไม่วิเคราะห์ไม่ได้

กฎของคูลอมบ์ให้ขนาดแรง: F=k|q_1q_2|/(\varepsilon r^2) โดย k\approx9\cdot10^9\,\text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2 ประจุหน่วย C และระยะทางหน่วย m ให้แรงหน่วย N เพิ่มประจุตัวหนึ่งเป็นสองเท่าทำให้ F เป็นสองเท่า เพิ่มระยะทางเป็นสองเท่าทำให้แรงเหลือหนึ่งในสี่ ขนาดแรงไม่เป็นลบ ต้องใช้เครื่องหมายประจุหาทิศแยกต่างหาก ขีดจำกัด r → 0 เตือนถึงข้อจำกัดของแบบจำลองจุดสำหรับวัตถุจริงที่มีขนาด

อีกค่าคงตัวที่ใช้สะดวกคือสภาพยอมของสุญญากาศ \varepsilon_0\approx8{,}85\cdot10^{-12}\,\text{Ф/м} โดย k=1/(4\pi\varepsilon_0) นี่คือการเขียนสัมประสิทธิ์อันตรกิริยาเดิมในอีกรูป ไม่ใช่ผลเพิ่มเติมจากตัวกลาง ฟารัดเป็นหน่วยความจุไฟฟ้าซึ่งจะเรียนในหัวข้อถัดไป ตอนนี้ให้แยก \varepsilon_0 ที่มีหน่วย F/m ออกจาก \varepsilon สัมพัทธ์ที่เป็นตัวประกอบไร้มิติ

เมื่อใดจึงหารแรงในสุญญากาศด้วย ε ได้ตรง ๆ? ไดอิเล็กทริกต้องสม่ำเสมอ มีสมบัติเท่ากันทุกทิศทางหรือไอโซทรอปิก และเป็นเชิงเส้น คือโพลาไรเซชันแปรผันตรงกับสนาม บริเวณรอยต่อวัสดุหรือใกล้ตัวนำ ประจุเหนี่ยวนำมีการกระจายต่างออกไป ลองวางผนังโลหะใกล้ประจุคู่เดิม ผนังเปลี่ยนทั้งสนามและทิศของสนาม แม้ระยะห่างประจุเดิมไม่เปลี่ยน การแทนค่า ε เพียงตัวเดียวจึงไม่พอ

วางประจุทดสอบขนาดเล็ก ณ จุดที่เลือกแล้ววัดแรง เมื่อเพิ่มประจุทดสอบเป็นสองเท่า แรงก็เป็นสองเท่า อัตราส่วนจึงยังเป็นสมบัติของต้นกำเนิด เรียกว่าความเข้มสนามไฟฟ้า: \vec E=\vec F/q หน่วย N/C ทิศ E กำหนดตามทิศแรงต่อประจุทดสอบบวก ประจุทดสอบต้องเล็กพอที่จะรบกวนตำแหน่งต้นกำเนิดหรือการกระจายประจุเพียงเล็กน้อย มิฉะนั้นเราจะกำลังวัดสนามที่เปลี่ยนไปแล้ว

จากนิยามได้ \vec F=q\vec E ค่า q บวกคงทิศเวกเตอร์ ส่วน q ลบกลับทิศ อิเล็กตรอนจึงรับแรงสวน E แม้สนามไม่ได้ ‘หันกลับ’ เมื่อมีอิเล็กตรอนเข้ามา เมื่อต้นกำเนิดคงเดิม เพิ่มประจุทดสอบเป็นสองเท่าจะเพิ่มแรงเป็นสองเท่า แต่ E คงเดิม หากเอาประจุทดสอบออก แรงที่กระทำต่อวัตถุนั้นย่อมหายไปพร้อมวัตถุ แต่สนามจากต้นกำเนิดยังอยู่ จึงแยกสมบัติสนามออกจากอันตรกิริยาต่อวัตถุทดสอบเฉพาะตัวได้

ให้ประจุต้นกำเนิดเป็น Q เพื่อแยกจากประจุทดสอบ q หารแรงคูลอมบ์ด้วยขนาดประจุทดสอบจะได้ E=k|Q|/(\varepsilon r^2) ตัว q ตัดกัน ซึ่งควรเป็นเช่นนั้นเพราะสนามเป็นสมบัติของต้นกำเนิด สนามชี้ออกจาก Q บวกและเข้าหา Q ลบ ที่ระยะสองเท่า ขนาดเหลือหนึ่งในสี่ เมื่อ |Q| เป็นสองเท่า ขนาดสนามก็เป็นสองเท่า เงื่อนไขต้นกำเนิดแบบจุดและตัวกลางเชิงเส้นสม่ำเสมอยังคงเหมือนกรณีแรง

ความเข้มสนามไฟฟ้ามีหน่วย V/m ได้ด้วย: 1\,\text{Н/Кл}=1\,\text{В/м} เป็นปริมาณเดียวกันที่เขียนได้สองแบบ N/C สะดวกเมื่อทราบแรงต่อประจุทดสอบ ส่วน V/m สะดวกเมื่อทราบความต่างศักย์และระยะตามสนามสม่ำเสมอ หน่วยใหม่ไม่ได้เพิ่มกฎใหม่ ในบทถัดไป โวลต์ซึ่งเท่ากับจูลต่อคูลอมบ์จะเชื่อมคำอธิบายด้านพลังงานกับด้านแรง

ทำไมไดอิเล็กทริกจึงเปลี่ยนสนาม? ประจุบวกและลบภายในเลื่อนเล็กน้อยเทียบกัน หรือคู่ประจุที่ยึดเหนี่ยวกันจัดแนวใหม่ นี่คือโพลาไรเซชัน ซึ่งไม่ต้องมีประจุไหลอย่างอิสระทั่วตัวอย่างเหมือนในโลหะ สารที่เกิดโพลาไรเซชันสร้างสนามของตนเองซึ่งรวมกับสนามเดิม ให้ E₀ เป็นสนามเมื่อไม่มีไดอิเล็กทริก และ E เป็นสนามหลังเติมไดอิเล็กทริกเต็มบริเวณ การเปรียบเทียบต้องกำหนดต้นกำเนิดให้เหมือนกัน

เมื่อประจุอิสระและรูปทรงคงเดิม การเติมไดอิเล็กทริกเชิงเส้นไอโซทรอปิกอย่างสม่ำเสมอเต็มบริเวณให้ \varepsilon=E_0/E เมื่อ ε เป็นสองเท่า E จะเหลือครึ่งหนึ่งภายใต้เงื่อนไขนี้ แต่แหล่งจ่ายที่รักษาความต่างศักย์คงตัวอาจเปลี่ยนประจุอิสระ ทำให้เงื่อนไขเปรียบเทียบเดิมใช้ไม่ได้ สูตรนี้ไม่ใช่สูตรสากลสำหรับการจุ่มวัตถุใด ๆ ในไดอิเล็กทริก ต้องตรวจสอบก่อนว่าอะไรคงเดิมและรอยต่อวัสดุอยู่ที่ใด

หาสนามจากหลายต้นกำเนิดอย่างไร? ที่จุดเดียวกัน วาด \vec E_1,\vec E_2,\ldots แยกกัน แล้วใช้หลักการซ้อนทับ: \vec E=\vec E_1+\vec E_2+\ldots สิ่งที่บวกคือเวกเตอร์ สนามสองส่วนที่ไม่เป็นศูนย์จึงอาจรวมเป็นศูนย์ได้ การบวกขนาดบวกใช้ได้เฉพาะเมื่อทิศตรงกัน สนามสวนทางหักล้างกันบางส่วน หากทิศทำมุมกัน ให้ใช้แผนภาพเวกเตอร์หรือองค์ประกอบ แทนการเดาเครื่องหมายจากตัวเลข

วางประจุบวกเท่ากันสองตัวอย่างสมมาตรคนละด้านของจุดหนึ่ง ที่กึ่งกลาง สนามมีขนาดเท่ากันและทิศสวนกัน จึงได้ E = 0 ไม่อาจเลือกทิศใดโดยไม่ทำลายสมมาตร คราวนี้แทนต้นกำเนิดตัวหนึ่งด้วยประจุลบ ระหว่างประจุ สนามทั้งสองชี้จากบวกไปลบ ขนาดจึงบวกกัน การเปลี่ยนเครื่องหมายเดียวเปลี่ยนจากหักล้างเป็นเสริมกัน แม้ระยะทางและขนาดประจุคงเดิม

ประจุทดสอบบวก 2 nC รับแรง 6 μN ไปทางขวา จงหาความเข้มสนามไฟฟ้า

ประจุเป็นบวก E จึงมีทิศเดียวกับแรง คือไปทางขวา

แปลงหน่วย: q=2·10⁻⁹ C, F=6·10⁻⁶ N

จากนิยาม E=F/q=3000 N/C

ตรวจสอบ: ประจุสองเท่าจะรับแรงสองเท่า แต่ F/q คงเดิม

E=3000 N/C ไปทางขวา

ประจุรวมของระบบโดดเดี่ยวคงเดิม แม้วัตถุแต่ละชิ้นจะแลกเปลี่ยนอิเล็กตรอนกันได้

E อธิบายสนามจากต้นกำเนิด ส่วน F = qE คิดเครื่องหมายและขนาดของประจุทดสอบด้วย

กฎของคูลอมบ์และการลดสนามด้วย ε ต้องใช้แบบจำลองตัวกลางที่กำหนด สนามจากหลายต้นกำเนิดรวมกันแบบเวกเตอร์

ต่อไปจะศึกษาว่าสนามถ่ายเทพลังงานอย่างไรเมื่อประจุเคลื่อนที่