Заряд и электрическое поле

Положительный и отрицательный пробные заряды помещают по очереди в одну точку. Источники прежние, а силы направлены противоположно. Как описать действие пространства вокруг источников так, чтобы отделить его от свойств пробного тела?

При электризации двух тел на одном может появиться избыток электронов, а на другом — недостаток. Электрон несёт отрицательный заряд: получившее электроны тело становится отрицательным, потерявшее — положительным. Электрический заряд q измеряют в кулонах, Кл, и учитывают со знаком. В обычной электризации он перераспределяется, а не создаётся трением из ничего. Нейтральность означает компенсацию положительных и отрицательных зарядов, а не отсутствие заряженных частиц.

Обведём мысленной границей электрически изолированную систему. Если заряд не пересекает эту границу, q_1+q_2+\ldots+q_n=\text{const} — закон сохранения заряда. Индексы обозначают разные тела, а сумма алгебраическая. Перенос электронов может заметно изменить каждое слагаемое, сохранив общий результат. Например, при появлении равных положительного и отрицательного зарядов сумма остаётся нулевой. Подключение к Земле открывает путь обмена, поэтому выбранную границу нужно проверить.

Два одноимённых заряда отталкиваются, разноимённые притягиваются. Для неподвижных точечных зарядов действие направлено вдоль соединяющей их прямой: иной выделенной линии у этой пары нет. Точечная модель подходит, когда размерами заряженных объектов можно пренебречь относительно расстояния. Модуль силы должен учитывать оба заряда, расстояние и среду. Перед вычислением полезно сразу нарисовать направление: знак взаимодействия станет независимой проверкой результата.

Заряды, помещённые в вещество, вызывают перераспределение его собственных зарядов. Поэтому среда меняет результирующее взаимодействие. Расстояние между источниками обозначим r в метрах, свойство среды — относительной диэлектрической проницаемостью \varepsilon, безразмерной; в вакууме \varepsilon=1. Простая формула ниже предполагает однородную среду во всём рассматриваемом пространстве. Произвольную границу двух материалов нельзя заменить одним числом без анализа.

Модуль силы даёт закон Кулона: F=k|q_1q_2|/(\varepsilon r^2), где k\approx9\cdot10^9\,\text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2. Заряды в Кл и расстояние в м дают силу в Н. Удвоение одного заряда удваивает F, удвоение расстояния уменьшает её вчетверо. Модуль не бывает отрицательным: знаки зарядов определяют направление отдельно. Предел r → 0 предупреждает о границе точечной модели для реальных протяжённых тел.

В формулах удобно пользоваться также электрической постоянной \varepsilon_0\approx8{,}85\cdot10^{-12}\,\text{Ф/м}: k=1/(4\pi\varepsilon_0). Это тот же коэффициент взаимодействия, записанный иначе, а не дополнительный эффект среды. Фарад — единица ёмкости, смысл которой раскроем в следующей теме. Пока достаточно отличать \varepsilon_0, имеющую единицу Ф/м, от относительной \varepsilon, которая является безразмерным множителем.

Когда допустимо просто разделить вакуумную силу на ε? Диэлектрик должен быть однородным, одинаковым по направлениям — изотропным — и линейным: его поляризация пропорциональна полю. У границы материалов или рядом с проводником возникает другое распределение наведённых зарядов. Представим металлическую стенку возле исходной пары: она меняет поле и его направления, хотя расстояние между исходными зарядами прежнее. Одной замены ε уже недостаточно.

Поставим в выбранную точку малый пробный заряд и измерим силу. Если пробный заряд удвоить, сила удвоится; отношение останется свойством источников. Его называют напряжённостью: \vec E=\vec F/q, единица Н/Кл. Направление E принято по силе на положительный пробный заряд. Пробник должен быть достаточно мал, чтобы почти не сдвигать источники и не менять исследуемое распределение зарядов; иначе мы измеряли бы уже другое поле.

Из определения следует \vec F=q\vec E. Положительный q оставляет направление вектора, отрицательный обращает его. Поэтому электрон испытывает силу против E, хотя поле не «поворачивается» при его появлении. При прежних источниках удвоение пробного заряда удваивает силу, но E сохраняется. Если убрать пробник, сила на него исчезнет вместе с объектом, а поле источников останется. Так различаются характеристика поля и конкретное взаимодействие с пробным телом.

Назовём заряд источника Q, чтобы не путать его с пробным q. Разделим силу Кулона на модуль пробного заряда: получим E=k|Q|/(\varepsilon r^2). q сократился, как и должно быть для характеристики источника. Поле направлено от положительного Q и к отрицательному. Вдвое дальше модуль вчетверо меньше, при удвоенном |Q| вдвое больше. Условия точечности источника и однородной линейной среды остаются теми же, что для силы.

Напряжённость можно встретить и в В/м: 1\,\text{Н/Кл}=1\,\text{В/м}. Это одна величина с двумя способами измерения. Н/Кл удобно, когда известна сила на пробник; В/м окажется удобно, когда известны разность потенциалов и расстояние вдоль однородного поля. Пока новая единица не добавляет нового закона. В следующем уроке вольт как джоуль на кулон свяжет энергетическое описание с силовым.

Почему диэлектрик вообще изменяет поле? Его положительные и отрицательные заряды немного смещаются относительно друг друга или ориентируются связанные пары зарядов. Это поляризация: свободного перетекания зарядов через весь образец, как в металле, для неё не требуется. Поляризованное вещество создаёт собственное поле, складывающееся с исходным. Обозначим поле без диэлектрика E₀, а поле после заполнения пространства — E; их сравнение требует одинаково заданных источников.

При тех же свободных зарядах и геометрии, после полного однородного заполнения линейным изотропным диэлектриком, \varepsilon=E_0/E. Увеличение ε вдвое означает вдвое меньшее E при этих условиях. Но если источник питания удерживает напряжение, он может изменить свободные заряды: прежнее сравнение уже не выполнено. Формула не универсальна для любого погружения детали в диэлектрик; сначала выясняют, что сохранено и где проходят границы материалов.

Как найти поле, если источников несколько? В одной и той же точке отдельно строим \vec E_1,\vec E_2,\ldots, затем используем суперпозицию: \vec E=\vec E_1+\vec E_2+\ldots. Складываются векторы, поэтому два ненулевых вклада могут дать ноль. Сложить положительные модули допустимо лишь для совпадающих направлений; противоположные частично компенсируются. Если источники под углом, используем векторный рисунок или проекции, а не угадываем знак из чисел.

Поставим два одинаковых положительных заряда симметрично по сторонам точки. В середине модули полей равны, направления противоположны, итог E = 0. Какое направление можно было бы выбрать без нарушения симметрии? Никакое. Теперь заменим один источник отрицательным: между зарядами оба поля направлены от плюса к минусу, и модули складываются. Один изменённый знак меняет компенсацию на усиление, хотя расстояния и величины зарядов прежние.

На положительный пробный заряд 2 нКл действует сила 6 мкН вправо. Найдите напряжённость поля.

Заряд положительный, поэтому E направлена так же, как сила: вправо.

Переводим: q=2·10⁻⁹ Кл, F=6·10⁻⁶ Н.

По определению E=F/q=3000 Н/Кл.

Проверка: на заряд вдвое больше действовала бы вдвое большая сила, но отношение F/q осталось бы прежним.

E=3000 Н/Кл вправо.

Суммарный заряд изолированной системы сохраняется, хотя отдельные тела могут обмениваться электронами.

E описывает поле источников, а F = qE учитывает ещё знак и величину пробного заряда.

Закон Кулона и ослабление поля через ε требуют конкретной модели среды; поля нескольких источников складывают как векторы.

Далее узнаем, как поле передаёт энергию при перемещении заряда.