Равновесие и центр тяжести

Возьмись за руль двумя руками и приложи равные силы в противоположные стороны. Их сумма может быть нулевой, а руль поворачивается. Чего не хватает в описании тела одной материальной точкой?

У протяжённого тела важна не только сумма сил, но и место их приложения. Равные противоположные силы на разных краях руля способны повернуть его без ускорения центра. Чтобы первоначально неподвижное твёрдое тело оставалось в равновесии, нужны два условия: нулевая сумма сил и нулевая сумма моментов. Первое исключает поступательное ускорение, второе — начало вращения. Считать тело точкой в такой задаче уже недостаточно.

Попробуй открыть дверь одинаковой силой у петель и у ручки. У ручки результат заметнее: линия силы проходит дальше от оси. Это расстояние, измеренное по перпендикуляру, называют плечом l. Оно не всегда равно длине двери. Если у ручки толкать вдоль полотна прямо к петлям, линия действия проходит через ось и плечо исчезает. Значит, решает не только точка приложения, но и направление силы.

Как сравнить две попытки повернуть дверь? В плоской задаче модуль момента силы M = Fl: сила F в ньютонах умножается на плечо l в метрах, единица — Н·м. Удвоенная сила или удвоенное плечо дают удвоенный момент. При l = 0 момент исчезает, даже если сила велика. Момент характеризует вращающее действие относительно выбранной оси; одинаковая размерность с работой не делает его работой или энергией.

Выберем один знак для вращения по часовой стрелке, противоположный для вращения против неё. Если действуют лишь два существенных противоположных момента, равновесие требует F₁l₁ = F₂l₂. Увеличив одно плечо вдвое, можно уменьшить соответствующую силу вдвое. Реакция в оси момента относительно этой оси не создаёт, потому что её плечо равно нулю. Но в сумму сил реакция по-прежнему входит.

Земля притягивает каждую часть предмета. В почти однородном поле их совместное действие можно заменить одной силой тяжести, линия которой проходит через центр тяжести. У однородной симметричной фигуры его находят по симметрии. У кольца центр лежит в пустоте: это точка, позволяющая описывать действие распределённых сил, а не обязательно кусочек вещества. Неодинаковая плотность может сместить её от геометрического центра.

Вырежем произвольную плоскую фигуру и подвесим за край. Почему она останавливается в определённом положении? Если центр тяжести сбоку от вертикали подвеса, тяжесть имеет плечо и поворачивает фигуру. В устойчивом положении центр оказывается под подвесом. Проведём эту вертикаль, затем подвесим за другую точку и проведём вторую. Их пересечение найдёт центр тяжести; фигура должна свободно поворачиваться, не задевая опору.

Медленно наклоняй коробку вокруг края опоры. Пока вертикаль центра тяжести проходит внутри площади опоры, тяжесть стремится вернуть коробку. При выходе вертикали за край её момент уже продолжает опрокидывание. На самом краю находится предельный случай. Это рассуждение относится к горизонтальной опоре без дополнительных опрокидывающих воздействий; ширина основания и высота центра тяжести вместе определяют допустимый наклон.

Проверить устойчивость можно маленьким отклонением. Шар в чаше после смещения движется обратно: равновесие устойчивое. На вершине он уходит ещё дальше: неустойчивое. На горизонтальной плоскости сохраняет новое положение: безразличное. «Возвращается» здесь означает наличие возвращающего действия; без трения шар может долго колебаться около исходной точки, а не сразу остановиться в ней. Одного факта покоя для различения этих случаев мало.

На рычаг действует сила 30 Н с плечом 0,4 м. Какой противоположный момент создаст сила на плече 0,6 м? Весом рычага и трением в оси пренебречь.

Для равновесия рычага второй момент должен иметь тот же модуль, что первый, и противоположное направление. Выберем ось крепления: её реакция имеет нулевое плечо.

Первый момент M₁ = F₁l₁ = 30 · 0,4 = 12 Н·м.

На плече 0,6 м нужную силу найдём из F₂l₂ = M₁: F₂ = 12/0,6 = 20 Н.

Второе плечо в 1,5 раза больше, значит сила в 1,5 раза меньше. Проверка суммы сил требует учитывать реакцию оси; равенство моментов само по себе её не заменяет.

Для равновесия нужна сила 20 Н на плече 0,6 м. Она создаст противоположный момент 12 Н·м.

Протяжённое тело может вращаться при нулевой сумме сил; для равновесия проверяют также моменты.

Плечо — перпендикуляр до линии действия силы: сила через ось не поворачивает тело вокруг неё.

Устойчивость определяется тем, что произойдёт после малого отклонения, а не тем, покоится ли тело сейчас.

Следующий способ описывать взаимодействия — отслеживать импульс всей системы.