การสะท้อนและการหักเหของแสง

ช้อนส่วนที่อยู่ใต้น้ำดูเหมือนเลื่อนตำแหน่ง เพราะแสงจากช้อนเปลี่ยนทิศทางที่ผิวน้ำ เราจะเขียนเส้นทางจริงของรังสี แล้วตรวจสอบว่าแสงออกจากน้ำหรือแก้วได้ที่มุมใดบ้าง

รังสีจากจุดใต้น้ำเดินทางมาถึงผิวน้ำ ก่อนเปรียบเทียบทิศทางของรังสีทั้งสองด้าน ให้ลากเส้นแนวฉากซึ่งตั้งฉากกับผิวที่จุดตกกระทบ เราวัดมุมตกกระทบ α มุมสะท้อน β และมุมหักเห γ จากเส้นนี้ มุมที่วัดจากผิวกับมุมที่วัดจากเส้นแนวฉากรวมกันได้ 90° ดังนั้นรังสีที่เอียงเท่ากันอาจบอกมุมได้สองค่า หากเริ่มวัดจากเส้นผิด แม้ใช้สูตรถูกก็จะคำนวณผิด

แสงบางส่วนอาจสะท้อนกลับเข้าสู่ตัวกลางเดิม สำหรับการสะท้อน \alpha=\beta โดยรังสีตกกระทบ รังสีสะท้อน และเส้นแนวฉากอยู่ในระนาบเดียวกัน เขียนมุมเท่ากันคนละด้านของเส้นแนวฉาก และให้ลูกศรรังสีสะท้อนชี้ออกจากผิว หากตกกระทบตามแนวฉาก แสงจะย้อนกลับตามแนวเดิม เมื่อเพิ่ม α เป็นมุมเท่าใด β ก็เพิ่มเท่ากัน แต่มุมที่ทำกับผิวจะลดลง

สารโปร่งใสทำให้อัตราเร็วของแสงต่างจากในสุญญากาศ ดัชนีหักเหสัมบูรณ์ n_i=c/v_i เปรียบเทียบอัตราเร็วทั้งสอง โดย n₁ เป็นของตัวกลางที่รังสีตกกระทบเดินทางมา และ n₂ เป็นของตัวกลางที่แสงจะเข้าไป อัตราส่วนนี้ไม่มีหน่วย ถ้า n₂ มากกว่า n₁ แล้ว v₂ จะน้อยกว่า v₁ ค่าดัชนีนี้เป็นค่าที่ความถี่หนึ่ง ๆ จึงอาจต่างกันสำหรับแสงแต่ละสี ดัชนีหักเหมากกว่าไม่ได้หมายความว่าตัวกลางต้องมีความหนาแน่นมวลมากกว่า

เมื่อหน้าคลื่นเข้าหาผิวรอยต่อแบบเอียง แต่ละส่วนจะข้ามรอยต่อไม่พร้อมกัน ส่วนแรกเปลี่ยนอัตราเร็วแล้ว ขณะที่อีกส่วนยังอยู่ในตัวกลางเดิม หน้าคลื่นจึงหมุนและรังสีหักเหตาม n_1\sin\alpha=n_2\sin\gamma เมื่อ n₂>n₁ รังสีเบนเข้าหาเส้นแนวฉาก เมื่อ n₂<n₁ รังสีเบนออกจากเส้นแนวฉาก หากยังมีรังสีส่งผ่านได้ ที่ α=0 ทุกส่วนข้ามรอยต่อพร้อมกัน ทิศทางจึงคงเดิมแม้อัตราเร็วจะเปลี่ยน

บางครั้งการเปรียบเทียบสองตัวกลางโดยตรงสะดวกกว่า จึงใช้ดัชนีหักเหสัมพัทธ์ n=n_2/n_1=v_1/v_2 ซึ่งไม่ได้เท่ากับดัชนีสัมบูรณ์ n₂ เสมอไป สำหรับการตกกระทบแบบเอียง \sin\alpha/\sin\gamma=n เมื่อสลับตัวกลาง ดัชนีสัมพัทธ์จะเป็นส่วนกลับ และมุมใหญ่กับมุมเล็กสลับบทบาทกัน เมื่อตกกระทบตามแนวฉาก อัตราส่วนไซน์เป็น 0/0 จึงต้องใช้สมการเดิม n₁ sin α=n₂ sin γ แทนอัตราส่วนนี้

ที่รอยต่อซึ่งอยู่นิ่ง ความถี่คลื่นคงเดิม มิฉะนั้นการสั่นสองด้านของรอยต่อจะค่อย ๆ ไม่สอดคล้องกันตามเวลา จาก v=λν ได้ \lambda_1/\lambda_2=v_1/v_2=n_2/n_1 ในตัวกลางที่มีดัชนีสัมบูรณ์มากกว่า แสงเดินทางช้าลงและความยาวคลื่นสั้นลง ก่อนเปรียบเทียบต้องเขียน λ ทั้งสองด้วยหน่วยเดียวกัน การเปลี่ยนความยาวคลื่นขณะหักเหไม่ได้หมายความว่าความถี่ของแหล่งกำเนิดเปลี่ยน

กฎการหักเหมักให้ค่าไซน์ของมุมที่ไม่ทราบก่อน เราหามุมด้วยการดำเนินการผกผัน: arcsin(0,5)=30°=π/6 เรเดียน มุมครึ่งรอบ π เรเดียนเท่ากับ 180° ต้องตั้งหน่วยมุมของเครื่องคิดเลขให้ตรงกับค่าที่ใช้ ก่อนคำนวณให้ตรวจสอบขอบเขตก่อนว่าไซน์ของมุมจริงต้องไม่เกิน 1 หากได้ค่าเกิน อาจหมายถึงไม่มีรังสีหักเหที่เดินทางต่อไปได้ ไม่จำเป็นต้องเป็นความผิดพลาดทางเลขคณิต

พิจารณาแสงที่ออกจากตัวกลางโดย n₁>n₂ แล้วค่อย ๆ เพิ่มมุมตกกระทบ รังสีหักเหเบนห่างจากเส้นแนวฉากเร็วขึ้น จนถึงขีดจำกัดที่รังสีขนานไปกับรอยต่อ: γ=90° มุมตกกระทบ α₀ ที่สอดคล้องกันเรียกว่ามุมวิกฤต ถ้าเริ่มจากตัวกลางที่มีดัชนีน้อยกว่า จะไม่มีขีดจำกัดแบบนี้ เพราะรังสีเบนเข้าหาเส้นแนวฉาก ดังนั้นมุมมากเพียงอย่างเดียวจึงไม่ได้รับประกันว่าจะเกิดการสะท้อนกลับหมด

เมื่อแทน sin γ=1 จะได้ \sin\alpha_0=n_2/n_1 สำหรับ α>α₀ จะไม่มีรังสีหักเหที่แพร่ไปในตัวกลางที่สอง จึงเกิดการสะท้อนกลับหมด ถ้า n₂≈1 เราเขียนเป็น 1/n₁ ได้ โดย n₁ เป็นดัชนีสัมบูรณ์ของตัวกลางเดิม แต่ถ้าใช้ดัชนีสัมพัทธ์ที่นิยามไว้ข้างต้น n=n₂/n₁ จะได้ sin α₀=n ไม่ใช่ 1/n การตรวจความหมายของสัญลักษณ์ช่วยหลีกเลี่ยงค่าไซน์ที่มากกว่าหนึ่งก่อนเริ่มหามุม

แสงเดินทางจากแก้วที่มี n₁=1,5 ไปสู่อากาศที่มี n₂≈1 จงหามุมวิกฤต และบอกว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อมุมตกกระทบเป็น 50°

แสงออกจากแก้วที่มี n₁ = 1,5 ไปสู่อากาศที่มี n₂ ≈ 1 เนื่องจาก n₁ > n₂ จึงมีมุมวิกฤต

sin α₀ = n₂/n₁ = 1/1,5 ≈ 0,667 ค่านี้อยู่ระหว่างศูนย์กับหนึ่ง จึงเป็นค่าไซน์ที่เป็นไปได้

เมื่อตั้งเครื่องคิดเลขเป็นองศา α₀ = arcsin(0,667) ≈ 41,8°

มุมที่กำหนด 50° มากกว่า 41.8° หากมีรังสีส่งผ่าน กฎการหักเหจะให้ค่าไซน์เกินหนึ่งซึ่งเป็นไปไม่ได้ จึงเกิดการสะท้อนกลับหมด

มุมวิกฤตคือ α₀ ≈ 41,8° เมื่อตกกระทบที่ 50° จะเกิดการสะท้อนกลับหมด เพราะแสงเดินทางไปยังตัวกลางที่มีดัชนีน้อยกว่า และมุมตกกระทบมากกว่ามุมวิกฤต

วัดมุมจากเส้นแนวฉาก ดัชนีหักเหเปรียบเทียบอัตราเร็วแสง ไม่ใช่ความหนาแน่นมวลของสาร

ที่รอยต่อซึ่งอยู่นิ่ง ความถี่คงเดิม เมื่ออัตราเร็วเปลี่ยน ความยาวคลื่นก็เปลี่ยน และหากตกกระทบแบบเอียง ทิศทางจะเปลี่ยนด้วย

การสะท้อนกลับหมดต้องมี n₁>n₂ และ α>α₀ อย่าสับสนระหว่างดัชนีหักเหสัมบูรณ์กับดัชนีหักเหสัมพัทธ์

ต่อไปเราจะใช้เลนส์รวมรังสี และพิจารณากรณีที่ต้องใช้แบบจำลองคลื่นของแสง