Единицы СИ и перевод величин

Стол не изменился, но одна линейка дала 120 см, а другая — 1,2 м. Почему числа разные? И как сделать так, чтобы выбор линейки не менял результат расчёта?

Представь, что вдоль стола сначала укладывают сантиметровые отрезки, а затем метровые. Первых помещается 120, вторых — 1,2. Измерять означает сравнивать величину с единицей: длина равна числу таких единиц, умноженному на размер одной. Поэтому более крупная единица даёт меньшее число. Записи 120 см и 1,2 м сообщают об одном размере, а число 120 без единицы ещё не сообщает длину.

Пусть путь измерили в метрах, а время — в минутах. Деление даст метры в минуту; ожидать метры в секунду было бы ошибкой. Согласованные единицы устраняют эту путаницу. В Международной системе единиц СИ для длины, массы и времени используют метр, килограмм и секунду, а единицы других механических величин получают из них по формулам. Число без проверки единиц может выглядеть правдоподобно и всё же описывать другой результат.

Линейкой можно измерить длину стола l, высоту полки h или путь S вдоль нарисованной линии. Это разные вопросы к объекту, но в каждом случае мы сравниваем расстояние с метром. Буква сама не определяет физическую величину: её смысл задаёт условие. Если удлинить маршрут вдвое, путь удвоится; высота полки от этого не изменится. Поэтому перед подстановкой связываем каждую букву с конкретным измерением.

Теперь нужно покрыть стол бумагой. Одной длины мало: важна ещё и ширина. Площадь S показывает размер поверхности; единица СИ — м², площадь квадрата со стороной 1 м. Для прямоугольника S=ab, потому что число квадратов в ряду умножается на число рядов. Удвоение одной стороны удваивает площадь, обеих — увеличивает её вчетверо. В задаче о движении та же буква S может означать путь: проверяй смысл и единицу.

Сколько места займёт коробка? Нужны длина, ширина и высота. Объём V прямоугольной коробки равен abc: площадь основания умножается на число слоёв единичной толщины. Кубический метр — объём куба со стороной 1 м. Если увеличить все размеры коробки вдвое, в каждом направлении поместится вдвое больше маленьких кубиков, а всего — в восемь раз больше. Именно три независимых размера объясняют куб единицы.

Груз массой m=500 г можно записать как 0,5 кг, а длительность t=2 мин — как 120 с. Масса не уменьшилась, процесс не стал длиннее: изменился размер единицы счёта. В СИ массу выражают в килограммах, время — в секундах. Чтобы проверить перевод, мысленно вернись к исходной единице. Полкилограмма содержит 500 граммов, две минуты — две группы по 60 секунд.

В следующих темах встретятся другие буквы, но способ читать величины останется тем же. Сила тока I характеризует заряд, проходящий через сечение за единицу времени; её единица — ампер. Длина волны \lambda — например, расстояние между соседними гребнями периодической волны — измеряется в метрах. Сейчас достаточно различать смысл величины и её масштаб: слово «длина» подсказывает метры, но не говорит, какой именно отрезок нужно измерить.

Разделим метровую полоску на 100 равных частей: одна часть будет сантиметром. Разделим на 1000 — получим миллиметр. Поэтому 1\,\text{см}=10^{-2}\,\text{м} и 1\,\text{мм}=10^{-3}\,\text{м}. При переводе умножаем число на размер каждой части: 8 см — это 8\times0{,}01=0{,}08 м. Если ответ в метрах оказался больше числа сантиметров, направление перевода выбрано неверно.

Мысленно разделим килограммовый груз на тысячу равных частей по массе. Каждая имеет массу 1 г, то есть 1\,\text{г}=10^{-3}\,\text{кг}. Для 250 г получаем 250\times10^{-3}=0{,}25 кг — четверть исходного груза. При обратном переводе делим на 10^{-3}, то есть умножаем на тысячу. Это одно правило сравнения с единицей, применённое в двух направлениях.

Можно ли перевести 1 см² тем же множителем, что и 1 см? Нарисуй квадрат: обе его стороны равны 0,01 м. Его площадь 1\,\text{см}^2=(10^{-2}\,\text{м})^2=10^{-4}\,\text{м}^2. В метровом квадрате таких маленьких квадратов 100 по ширине и 100 по длине — всего 10 000. Множитель появляется дважды, поскольку переводятся два размера, а не потому, что для площади придумано отдельное правило.

Проверь то же рассуждение для миллиметровой бумаги. В квадратном метре вдоль каждой стороны помещается 1000 миллиметровых отрезков, значит, всего миллион клеток по 1 мм². Поэтому 1\,\text{мм}^2=(10^{-3}\,\text{м})^2=10^{-6}\,\text{м}^2. Использовать только 10^{-3} означало бы перевести одну сторону прямоугольника, а вторую оставить в миллиметрах: единицы ещё не были бы согласованы.

Заполним метровый куб кубиками со стороной 1 см. В одном слое их 100\times100, а слоёв — ещё 100. Поэтому 1\,\text{см}^3=(10^{-2}\,\text{м})^3=10^{-6}\,\text{м}^3: маленький куб занимает миллионную часть большого. Если бы речь шла только о площади основания, множителей было бы два. Третий множитель отвечает за высоту и позволяет не спутать объём с площадью.

Литровую ёмкость удобно представить кубом со стороной 10 см, или 1 дм. Тогда 1\,\text{л}=1\,\text{дм}^3=(0{,}1\,\text{м})^3=10^{-3}\,\text{м}^3. Вдоль ребра метрового куба помещается десять таких кубов, всего 10^3=1000. Значит, 2 л — это 0,002 м³. Литр описывает объём: массу литра жидкости без знания её плотности определить нельзя.

Со временем сохраняется та же логика, но единицы устроены иначе: час содержит 60 минут, каждая — 60 секунд. Поэтому 1\,\text{ч}=3600\,\text{с}. Для половины часа получаем 1800 с, а для нулевой длительности — ноль в любых единицах. Множитель нельзя брать из правила для сантиметров: сначала нужно установить, сколько новых единиц содержится в старой, и лишь затем считать.

Площадь пластины 30 см². Выразите её в м².

Площадь имеет два измерения: коэффициент перевода длины нужно возвести в квадрат.

1 см = 0,01 м, поэтому 1 см² = 0,0001 м².

30 × 0,0001 = 0,003. Единица результата — м².

Проверка: 30 см² заметно меньше квадратного метра, поэтому число в м² должно быть меньше единицы.

30 см² = 0,003 м². Это 30 из 10 000 квадратных сантиметров, содержащихся в одном квадратном метре; порядок величины согласуется с небольшой пластиной.

Выбор единицы меняет число в записи, но не измеряемый объект; результат всегда читают вместе с единицей.

Квадрат и куб единицы возникают из двух и трёх размеров. Поэтому множитель перевода тоже возводится в квадрат или куб.

Проверить перевод можно обратным действием и оценкой масштаба: маленькая пластина не должна внезапно занять несколько квадратных метров.

Далее научимся узнавать множители по приставкам.