Работа, мощность и сохранение энергии

На какой скорости груз окажется внизу горки? Можно рассчитывать ускорение на каждом участке и время спуска. Но если трения нет, ответ даёт гораздо более короткое рассуждение: проследить, во что превращается энергия при потере высоты.

Движущаяся тележка может сжать пружину, поднятый груз — при падении привести механизм в движение. Эти возможности связывает энергия. Кинетическая энергия относится к движению, потенциальная — к взаимодействию и взаимному положению тел; их сумма называется механической. Поднимая груз или сжимая пружину, мы меняем состояние системы, из которого затем можно получить движение. Потенциальная энергия не является особым веществом внутри груза.

Тяни тележку сначала вдоль движения, затем косо. При одинаковой силе во втором случае вдоль пути действует только часть тяги. Для постоянной силы работа A = Fs cos α, где s — модуль перемещения, α — угол между силой и перемещением. Работа описывает передачу энергии при действии силы. Удвоение силы или перемещения при прежнем угле удваивает работу; без перемещения она равна нулю, даже если мышцы устают.

Сила вдоль движения совершает положительную работу, против него — отрицательную, перпендикулярно — нулевую. Почему знак важен? Работа суммы всех сил равна изменению кинетической энергии. Торможение уменьшает её, значит суммарная работа отрицательна. При равномерном движении по окружности сила к центру поворачивает скорость, но не меняет её модуль: она в каждый момент поперечна движению и работы не совершает.

Сила 1 Н, действуя вдоль перемещения 1 м, совершает работу 1 Дж: 1 Дж = 1 Н·м. Размерность помогает проверить расчёт, но не заменяет условия формулы. Если сила растёт при растяжении пружины, её начальное значение не описывает весь путь. Нужно складывать работы на участках или обоснованно брать среднюю силу. Для постоянной силы в A = Fs cos α входит перемещение, а не любой извилистый путь.

Два двигателя поднимают одинаковый груз на одну высоту, но один вдвое быстрее. Работа одинакова, различается темп передачи энергии. Средняя мощность N = A/t, единица — ватт: 1 Вт = 1 Дж/с. При той же работе уменьшение времени вдвое удваивает мощность; при том же времени удвоение работы тоже её удваивает. Формула описывает среднее за выбранный промежуток: мощность внутри него может меняться.

Почему при удвоении скорости тормозить приходится намного дольше по пути? Работа постоянной разгоняющей силы вместе с v² − v₀² = 2as приводит к Eₖ = mv²/2 для поступательного движения. Масса в килограммах и скорость в м/с дают джоули. Удвоение массы удваивает Eₖ, удвоение скорости увеличивает её вчетверо; при v = 0 она нулевая. Знак скорости исчезает в квадрате: одинаково быстрые движения в разные стороны имеют одинаковую Eₖ.

Чтобы медленно поднять груз на высоту h, надо выполнить работу против тяжести. При почти постоянном g изменение потенциальной энергии равно mgh, и при выбранном нуле пишут Eₚ = mgh. Здесь h — вертикальная координата в метрах относительно этого уровня, она может быть отрицательной. Удвоение высоты над тем же нулём удваивает Eₚ. Перенос нуля меняет сами значения, но не разность энергий между двумя положениями и не предсказанное движение.

При растяжении идеальной пружины сила растёт от нуля до k|Δl|. Поэтому средняя сила на этом участке вдвое меньше конечной, а работа даёт Eₚ = k(Δl)²/2 относительно недеформированного состояния. Сжатие запасает энергию так же: квадрат устраняет знак деформации. Удвоение |Δl| увеличивает энергию вчетверо; при Δl = 0 она нулевая. Формула требует закона Гука и не годится для произвольно сильного растяжения.

Когда груз опускается, тяжесть совершает положительную работу: кинетическая энергия растёт на столько, на сколько уменьшается потенциальная. Если потенциальная энергия учитывает тяжесть и упругость, а остальные силы суммарно не совершают работы, Eₖ + Eₚ = const. Это закон сохранения механической энергии в выбранной модели. Он сравнивает состояния, не требуя времени движения; сначала всё же проверяют трение, движение опор и возможную внешнюю работу.

Потрогай мысленно тормоз велосипеда после остановки: он нагрелся. Исчезла ли энергия движения? Она перешла во внутреннюю энергию тормозов, колёс и среды. При таком трении механическая энергия обычно уменьшается, но полная энергия системы с учётом окружающих тел сохраняется. Поэтому уравнять только начальные и конечные Eₖ + Eₚ нельзя без учёта передачи энергии. «Потеря» здесь означает уход из выбранной механической формы.

Груз начинает скользить без начальной скорости с высоты 1,8 м. Трения нет, g = 10 м/с². Найдите скорость на нулевом уровне.

Начальная скорость нулевая, поэтому энергия груза относительно нижнего уровня равна mgh. Трения нет; реакция неподвижной гладкой поверхности перпендикулярна движению и работы не совершает.

Внизу Eₚ = 0, а уменьшение потенциальной энергии перешло в кинетическую: mgh = mv²/2. Масса сокращается, получаем v = √(2gh).

v = √(2 · 10 · 1,8) = √36 = 6 м/с.

Результат зависит от перепада высоты, а не от времени или формы гладкой горки при сохранении движения по ней. Если часть энергии перейдёт в нагрев при трении, скорость у основания будет меньше.

Скорость на нулевом уровне — 6 м/с: потеря высоты 1,8 м в этой модели полностью превратилась в энергию движения.

Работа учитывает направление силы и изменение энергии; большая сила может совершать нулевую работу.

Энергетический расчёт сравнивает состояния и часто избавляет от поиска времени движения.

При трении энергия не исчезает, но механической энергии одной системы может стать меньше.

Периодический обмен энергией объяснит движение маятников.