Линзы, глаз и оптические приборы

Камера собирает изображение на матрице, а лупа показывает увеличенные буквы без экрана. Одна и та же собирающая линза может работать обоими способами. Проследим, где встречаются лучи при перемещении предмета.

Пропустим через линзу пучок, параллельный её оси. Если после преломления лучи сходятся, линза собирающая; если расходятся — рассеивающая. Для стекла в воздухе выпуклая линза обычно собирает свет, но дело не только в форме: важен относительный показатель стекла и среды. Помещённая в другую среду линза может действовать иначе. Название описывает результат для лучей, который сначала можно наблюдать, а затем рассчитывать.

У собирающей линзы осевые параллельные лучи пересекаются в главном фокусе. У рассеивающей их обратные продолжения сходятся в мнимом фокусе: сами лучи там не были. Фокусное расстояние отсчитывают от оптического центра тонкой линзы. Чем сильнее линза меняет направления параллельного пучка, тем ближе фокус. Это свойство линзы; положение изображения произвольного близкого предмета ещё предстоит найти отдельно.

Возьмём верхнюю точку предмета и проведём два луча, ход которых известен. Параллельный главной оси луч после собирающей линзы проходит через дальний фокус. Луч через оптический центр тонкой линзы практически не меняет направления. Их пересечение укажет изображение этой точки. Мы выбрали два удобных луча из многих: это приём построения, а не утверждение, что линза пропускает от точки только две тонкие линии света.

Если после линзы сами лучи от точки сходятся в другом месте, туда можно поставить экран: получится действительное изображение. Если лучи расходятся, продлим их назад пунктиром. Пересечение продолжений даёт кажущееся место источника — мнимое изображение. Глаз может его видеть, принимая расходящийся пучок, но экран в этом кажущемся месте изображения не получит. Так различие зависит от реального хода света, а не от субъективной убедительности картинки.

Начнём с предмета за 2F собирающей линзы. Луч через центр и луч через фокус пересекутся с другой стороны между F и 2F, ниже оси для верхней точки предмета. Значит, изображение действительное, перевёрнутое и уменьшенное. Подвинем предмет в 2F: пересечение окажется в 2F, размер станет равным. По мере приближения предмета изображение отходит от линзы — фокус не является неизменным местом любой картинки.

Подвинем предмет дальше, между F и 2F. Пересечение лучей уйдёт за 2F, а изображение станет увеличенным, сохранив действительность и переворот. Если предмет пересечёт фокус и окажется ближе линзы, выходящие лучи уже расходятся. Их продолжения дают прямое увеличенное мнимое изображение со стороны предмета. Так действует лупа: изменение положения предмета меняет не только размер, но и способ образования изображения.

Что происходит ровно в фокусе собирающей линзы? Лучи от каждой точки выходят параллельным пучком, поэтому конечного изображения на экране нет. При приближении к фокусу издалека изображение удаляется всё дальше. Рассеивающая линза для реального предмета даёт другой устойчивый результат: прямое уменьшенное мнимое изображение между линзой и ближним фокусом. Её расходящиеся лучи не образуют действительного пересечения за линзой.

Для расчёта введём знаки, позволяющие отличать случаи без разных формул. Для реального предмета d > 0. Фокусное расстояние F > 0 у собирающей линзы и F < 0 у рассеивающей. Расстояние f > 0 для действительного изображения, f < 0 для мнимого. Это алгебраические расстояния по принятому соглашению. Отрицательный f не означает отрицательную физическую длину: знак кодирует тип и сторону расположения изображения.

Геометрия лучей для тонкой линзы даёт 1/F = 1/d + 1/f. Расстояния выражают в одной единице и сохраняют принятые знаки. При очень далёком предмете 1/d почти ноль, поэтому f близко к F: возвращается определение фокуса. При d = F получаем 1/f = 0 и отсутствие конечного изображения. Формула приближённая: линза тонкая, лучи близки к оси; широкие пучки и толстое стекло требуют уточнений.

Размер изображения следует из подобных треугольников, построенных лучом через центр: Γ = |f|/d. Это положительное безразмерное отношение размеров изображения и предмета. Если Γ = 2, изображение вдвое больше, если Γ = 0,5 — вдвое меньше. Модуль убирает знак алгебраического f; прямое изображение или перевёрнутое, определяют по лучам. Γ = 1 сообщает равенство размеров, но само по себе не сообщает ориентацию.

Две линзы имеют разные фокусы: какая сильнее собирает свет? Короткий фокус соответствует большему изменению направления лучей. Это выражает оптическая сила D = 1/F, где F обязательно в метрах. Единица — диоптрия, 1 дптр = 1 м⁻¹. Уменьшение положительного F вдвое удваивает D; у рассеивающей линзы обе величины отрицательны. Подстановка сантиметров без перевода дала бы ошибку в сто раз.

В глазу роль системы линз выполняют роговица и хрусталик. Они формируют действительное перевёрнутое изображение на сетчатке. Но предметы бывают близкими и далёкими, а сетчатка не перемещается вслед за каждым изображением. Хрусталик меняет кривизну и оптическую силу, настраивая резкость; это аккомодация. Рассмотренная модель помогает понять фокусировку, хотя реальный глаз сложнее одной тонкой линзы.

При близорукости без коррекции изображение далёкого предмета получается перед сетчаткой. Рассеивающая линза ослабляет схождение пучка и помогает перенести фокус на сетчатку. При дальнозоркости фокус может оказаться за ней; собирающая линза усиливает схождение. В фотоаппарате действительное изображение тоже должно попасть на чувствительную поверхность — матрицу. Различаются устройства настройки, но условие резкости одно: нужные лучи должны собраться на приёмнике.

Собирающая линза имеет F = 10 см. Предмет находится на расстоянии d = 30 см. Найдите положение изображения и увеличение.

F = 10 см, поэтому 2F = 20 см. Предмет на 30 см находится за 2F: ожидаем действительное перевёрнутое уменьшенное изображение между 10 и 20 см.

Выразим расстояние до изображения: 1/f = 1/F − 1/d = 1/10 − 1/30 = 1/15 см⁻¹. Отсюда f = 15 см, знак положительный.

Γ = |f|/d = 15/30 = 0,5: размер изображения вдвое меньше размера предмета.

15 см действительно лежит между F и 2F. Положительный f согласуется с пересечением реальных лучей за линзой, где можно поставить экран.

Изображение находится в 15 см за линзой: действительное, перевёрнутое, вдвое уменьшенное (Γ = 0,5). На этом расстоянии экран покажет резкую картинку в принятой модели.

Перемещение предмета меняет положение, размер и тип изображения; фокус — частный случай для параллельных лучей.

Действительное изображение образуют сами лучи, мнимое — их продолжения; это проверяют до расчёта.

Формула линзы требует согласованных знаков, а D = 1/F — фокусного расстояния в метрах.

Модель лучей имеет границы: следующий урок объяснит полосы, края и цвет.