Линзы и дифракция

Линза проектора даёт картинку на экране, а лупа показывает увеличенные буквы там, где экран не помог бы. Затем узкие щели вовсе заставляют свет уйти в несколько направлений. Проверим, какие вопросы решаются лучами, а где нужна фаза волны.

Поймай свет от линзы на лист бумаги. Если лучи от одной точки действительно сходятся, на листе появится её действительное изображение. Но через лупу точку тоже видно, хотя выходящие лучи могут расходиться. Тогда пересекаются лишь их обратные продолжения, и изображение мнимое: экран в кажущемся месте его не покажет. Модель различает реальный путь света и геометрическое продолжение, а не «настоящее» и «ненастоящее» зрительное ощущение.

Чтобы построение осталось простым, толщиной линзы пренебрегают по сравнению с расстояниями до предмета и изображения. Это модель тонкой линзы. Параллельный оси пучок у собирающей линзы сходится в главном фокусе, у рассеивающей расходится так, будто вышел из мнимого фокуса. Фокусное расстояние — свойство линзы в данной среде; положение изображения близкого предмета вообще не обязано с ним совпадать.

Обозначим F — фокусное расстояние, d — расстояние до предмета, f — до изображения, в метрах. Для действительного предмета d>0; у собирающей линзы F>0, у рассеивающей F<0. Действительному изображению соответствует f>0, мнимому f<0. Знак здесь кодирует геометрию по принятой договорённости. Отрицательное f не означает отрицательного физического размера, поэтому позже размер изображения будем считать по модулю.

Для тонкой линзы и лучей вблизи оси геометрия даёт 1/F=1/d+1/f. При очень далёком предмете 1/d почти ноль и f≈F, как и должно быть для параллельного пучка. При d=F получаем 1/f=0: лучи выходят параллельно, конечного изображения нет. Если приблизить реальный предмет внутри фокуса собирающей линзы, 1/f станет отрицательным — появится мнимое изображение. Все расстояния подставляют со знаками и в одной единице.

Проверим ответ двумя лучами из верхней точки предмета. Проходящий через оптический центр тонкой собирающей линзы почти не отклоняется; параллельный оси после линзы идёт через дальний фокус. Их пересечение или пересечение продолжений показывает положение и ориентацию изображения. Мысленно двигайте предмет к F: действительное изображение удаляется, а после пересечения фокуса остаётся мнимое на стороне предмета. Рисунок помогает проверить знак результата.

При коротком фокусном расстоянии параллельный пучок поворачивает сильнее, поэтому оптическую силу определяют как D=1/F. F в метрах даёт D в диоптриях: 1\,\text{дптр}=1\,\text{м}^{-1}. Уменьшение |F| вдвое удваивает |D|, знак сохраняется: плюс для собирающей, минус для рассеивающей. Если фокус уходит очень далеко, действие линзы слабеет и D стремится к нулю. Сантиметры сначала переводят в метры.

Луч через центр образует подобные треугольники у предмета и изображения. Отсюда увеличение по размеру \Gamma=H/h=|f/d|: H и h — положительные размеры в одинаковых единицах, Γ безразмерно. При Γ>1 изображение больше, при Γ<1 меньше; удвоенное |f| при прежнем d удваивает размер в этой геометрии. Положительность Γ не означает прямого изображения: переворот определяется расположением лучей, а не модулем отношения.

Лучевая схема перестаёт быть достаточной у узких щелей: свет распространяется в разных направлениях вследствие дифракции. В решётке много одинаково освещённых щелей, и их волны накладываются. Где фазы согласованы, поля усиливают друг друга и появляются яркие главные максимумы. Свет не выбирает одну щель, чтобы затем повернуть по особому правилу: итоговое распределение создаётся совместным волновым вкладом щелей.

Для решётки d теперь означает период — расстояние между соседними щелями в метрах, а не расстояние до предмета. При нормальном падении и наблюдении в направлении φ соседние волны проходят разные пути: разность равна d sin φ. φ измеряют от нормали к решётке. На самой нормали разность нулевая. Геометрия связывает изменение направления с фазовой задержкой, которую мы уже научились считать через длину волны.

Главное усиление возникает, когда разность хода равна целому числу длин волн: d\sin\varphi=k\lambda. k=0, ±1, ±2… — безразмерный порядок максимума, λ в метрах. При k=0 угол нулевой для всех длин волн. Противоположные знаки k дают симметричные направления. Формула предполагает монохроматический свет, нормальное падение и идеальную периодическую решётку; для сложного света её применяют отдельно к каждой составляющей.

Сколько направлений возможно? Поскольку |sin φ|≤1, нужно |kλ|≤d. Результат sin φ=1,3 означает отсутствие такого порядка, а не необходимость исправить число вручную. При одинаковом ненулевом порядке увеличение λ увеличивает модуль угла, а уменьшение периода d разводит максимумы шире. Поэтому решётка разделяет цвета; при этом у неё физически ограничено число возможных порядков, даже если k в формуле выглядит любым целым числом.

Предмет расположен в 0,30 м перед собирающей линзой с F=0,10 м. Найдите расстояние до изображения и увеличение по размеру.

Для действительного предмета d = 0,30 м положительно, для собирающей линзы F = 0,10 м положительно. Предмет находится дальше 2F = 0,20 м: ожидаем уменьшенное действительное изображение.

1/f = 1/F − 1/d = 1/0,10 − 1/0,30 = 10 − 3,33… = 6,66… м⁻¹. Поэтому f = 0,15 м.

Γ = |f/d| = 0,15/0,30 = 0,5: линейный размер вдвое меньше.

Положительный f и положение между F и 2F согласуются с пересечением реальных лучей. Построение показывает также переворот, который одно положительное Γ не сообщает.

f = 0,15 м, Γ = 0,5. Изображение действительное, перевёрнутое и вдвое уменьшенное; экран нужно поставить в 15 см за линзой.

Знаки расстояний описывают геометрию изображения, которую проверяют реальными лучами и их продолжениями.

Оптическая сила измеряет действие линзы через обратное фокусное расстояние; увеличение по размеру не кодирует переворот.

Главные максимумы решётки требуют целой разности хода и допустимого угла: |kλ|≤d.

Далее рассмотрим, как измерения времени и длины зависят от системы отсчёта.