Потенциал и напряжение

Поле толкает заряд, а значит, при перемещении может передавать энергию. Можно ли заранее отметить на карте пространства, где заряд имеет больший энергетический запас? Такая карта окажется удобнее силы, когда нужна работа между двумя точками.

В одной точке удвоение пробного заряда удваивает не только силу, но и его потенциальную энергию во внешнем поле. Разделим энергию W_{\text{п}} на заряд q, сохранив знак: \varphi=W_{\text{п}}/q. Полученный потенциал характеризует точку поля при выбранном нуле энергии. Его единица — вольт, 1\,\text{В}=1\,\text{Дж/Кл}. Это энергетическая характеристика, а не стрелка направления: одну точку можно описать числом φ, но сила требует вектора E.

Как у высоты над выбранной поверхностью, у потенциала нужно задать ноль. Добавим ко всем значениям одну постоянную величину: разности между точками сохранятся. Значит, работа между ними не изменится. Это свобода выбора отсчёта, а не физическое добавление энергии действующим устройством. Аналогия с высотой помогает увидеть роль разности, но имеет предел: электрический заряд может быть отрицательным, поэтому его энергия не обязана расти вместе с потенциалом.

Пусть перенос идёт из точки 1 в точку 2. Разность U_{12}=\varphi_1-\varphi_2 называют напряжением по этому направлению; единица — вольт. Переставим начало и конец: U_{21}=-U_{12}. Потенциал относится к одной точке относительно выбранного нуля, напряжение — к паре точек и порядку их сравнения. Если потенциалы равны, напряжение нулевое, хотя сами значения могут быть большими или отрицательными.

Работа электростатического поля равна убыли потенциальной энергии: A=q(\varphi_1-\varphi_2)=qU_{12}, откуда U_{12}=A/q. При удвоении q в том же поле и между теми же точками работа удвоится; Дж/Кл дают В. Положительный заряд при движении к меньшему потенциалу получает положительную работу поля. Для отрицательного q знак обратится. Сохраняй знак заряда и не подменяй работу поля работой внешнего устройства, перемещающего заряд.

В однородном поле сила \vec F=q\vec E постоянна. Работа зависит только от части перемещения вдоль E: A=qEd, где d — знаковая проекция перемещения на направление поля в метрах. При движении поперёк d = 0 и работа нулевая, даже если путь длинный. При движении против поля d отрицательна. Удвоение продольного смещения удваивает работу. За замкнутый маршрут итоговая работа электростатического поля равна нулю.

Между широкими параллельными пластинами вдали от краёв поле почти однородно. Перенос вдоль поля на расстояние d даёт напряжение U = Ed, поэтому модуль E=U/d. Здесь U и d — положительные модули: напряжение и зазор. При прежнем U удвоение зазора уменьшает E вдвое; при прежнем зазоре удвоение U удваивает поле. Из 1\,\text{В}=1\,\text{Дж/Кл} следует В/м = Н/Кл, что связывает энергетическое и силовое описания.

Заряд можно измерять и по тому, сколько его проходит через сечение проводника. При постоянном токе один ампер за секунду переносится один кулон: 1\,\text{Кл}=1\,\text{А}\cdot\text{с}. За вдвое большее время при том же токе пройдёт вдвое больший заряд. Ампер характеризует темп переноса, кулон — перенесённое количество заряда. Сейчас это связь единиц; механизм устойчивого движения зарядов и роль источника разберём в теме тока.

Для точечного источника Q при нуле на бесконечности потенциал \varphi=kQ/(\varepsilon r). Здесь r — расстояние, k — постоянная Кулона, ε — относительная проницаемость однородной линейной изотропной среды. Вдвое дальше модуль φ вдвое меньше, тогда как E уменьшился бы вчетверо. Знак φ совпадает со знаком Q. При удалении к бесконечности значение стремится к выбранному нулю; приближение к реальному заряженному телу требует проверить точечную модель.

Поместим заряд q_2 в поле q_1. Умножая потенциал источника на второй заряд, получаем энергию пары W_{\text{п}}=kq_1q_2/(\varepsilon r) с нулём при бесконечном удалении. Для разноимённых зарядов энергия отрицательна: чтобы разнести притягивающуюся пару до нулевого уровня, нужно сообщить энергию. Это не «невозможный запас», а следствие выбранного нуля. Для одноимённых зарядов сближение повышает положительную энергию, которую затем можно получить при разлёте.

Для нескольких источников потенциалы складывают алгебраически: \varphi=\varphi_1+\varphi_2+\ldots при согласованном нуле каждого вклада. В середине между равными разноимёнными зарядами потенциалы взаимно уничтожаются, хотя поля там складываются и E не равна нулю. Значит, нулевой потенциал не означает отсутствия силы. Различие возникает потому, что потенциал — скалярное энергетическое значение, а напряжённость — направленная характеристика его пространственного изменения.

Заряд +2 мкКл перенесли из точки с потенциалом 50 В в точку с потенциалом 20 В. Найдите работу поля.

Напряжение по направлению переноса U₁₂=50−20=30 В.

Заряд q=2·10⁻⁶ Кл положителен.

Работа A=qU₁₂=2·10⁻⁶×30=6·10⁻⁵ Дж.

Проверка: положительный заряд движется к меньшему потенциалу, энергия взаимодействия уменьшается, работа поля положительна.

Работа поля +60 мкДж.

Напряжение — разность потенциалов выбранных точек; общий сдвиг нуля не меняет работу A = qU.

Знак работы зависит и от направления переноса, и от знака заряда; в однородном поле нужна проекция перемещения вдоль E.

Потенциалы складываются со знаками, поля — векторно. Нулевой потенциал сам по себе не означает нулевое поле.

Далее применим напряжение к запасанию энергии в конденсаторе.