Конденсаторы

Перенесём электроны с одной металлической пластины на другую. Полный заряд пары останется нулевым, но между пластинами появятся поле и напряжение. Почему на разделение зарядов требуется работа и от чего зависит полученный запас энергии?

Две разделённые проводящие обкладки образуют конденсатор. Если на одной +q, а на другой −q, сумма зарядов нулевая, но они находятся в разных местах. Поля поэтому не обязаны компенсироваться между обкладками. Чтобы дополнительно разделять разноимённые заряды против их притяжения, требуется работа, которая увеличивает энергию электрического поля. Так отсутствие суммарного заряда совместимо с запасом энергии; важна его пространственная организация.

Как сравнить два устройства: на каком при одном напряжении можно разделить больше заряда? Отношение C=q/U называют электроёмкостью. Здесь q — модуль заряда одной обкладки в Кл, а не нулевая сумма пары; U — модуль напряжения в В. Единица — фарад, 1\,\text{Ф}=1\,\text{Кл/В}. Большая C означает больший заряд при том же напряжении или меньшее напряжение при том же заряде. Для сравнения нужно сохранять устройство и свойства среды.

У линейного конденсатора с прежней геометрией напряжение растёт пропорционально разделённому заряду. Поэтому q=CU с постоянной C: удвоение U удваивает q. Если заряд и напряжение увеличились вместе, их отношение не изменилось — ёмкость не стала больше. Это как выбор одного и того же масштаба связи, а не текущего количества заряда. При нулевом напряжении идеальный незаряженный конденсатор имеет q = 0, но его ёмкость остаётся свойством устройства.

Почему широкие пластины накапливают больше заряда при данном напряжении? На большей площади можно распределить больше заряда при прежнем поле; площадь перекрытия S берём в м². Увеличение зазора d при прежнем заряде увеличивает разность потенциалов, поэтому уменьшает C. Диэлектрик между пластинами поляризуется и тоже меняет связь q с U; его относительную проницаемость обозначаем ε. Геометрия и среда объясняют ёмкость ещё до подстановки в формулу.

Для плоского конденсатора C=\varepsilon_0\varepsilon S/d, где \varepsilon_0 в Ф/м. Удвоим S или ε — ёмкость удвоится, удвоим d — уменьшится вдвое. Единицы Ф/м·м²/м дают Ф. Предполагаем полный зазор с однородным линейным диэлектриком, малое d относительно размеров пластин и слабые краевые эффекты. Предел d → 0 нельзя буквально реализовать: контакт обкладок или пробой разрушат модель изолированных проводников.

При зарядке напряжение линейно растёт от нуля до U, поэтому перенос очередных порций заряда требует всё большей работы. Среднее напряжение за такую зарядку равно U/2, и энергия поля W=qU/2=CU^2/2=q^2/(2C) в джоулях. Удвоение U при прежней C увеличивает W вчетверо. Три записи равны благодаря q = CU. Однако при изменении самой ёмкости вывод зависит от того, какая величина удерживается постоянной: q или U.

Зарядим конденсатор и отключим источник. Если обкладки изолированы и утечки нет, q сохраняется. Тогда при увеличении C энергия W=q^2/(2C) уменьшается, а напряжение q/C падает. Например, сближение пластин облегчает дальнейшее разделение данного заряда по напряжению. Уменьшение энергии не означает исчезновения: поле может совершать механическую работу. Если геометрию меняют внешние силы, их работу тоже нужно учитывать в общем балансе.

Оставим конденсатор подключённым к идеальному источнику, удерживающему U. Теперь увеличение C вызывает приток заряда q = CU, и энергия W=CU^2/2 растёт. При удвоении C и прежнем U она удвоится — противоположно выводу для изолированных обкладок. Противоречия нет: поменялась граница системы, источник передаёт заряд и энергию. Для механической работы при изменении зазора недостаточно следить только за изменением W: участвует и источник.

Соединим последовательно первоначально незаряженные конденсаторы. Промежуточный узел изолирован от внешней цепи и остаётся нейтральным: сколько электронов ушло с одной его обкладки, столько пришло на другую. Поэтому на этих обкладках равные противоположные заряды, а у конденсаторов одинаковые модули q. Напряжения последовательных участков складываются. Если промежуточный узел заранее заряжен, простое равенство модулей требует пересмотра.

Для двух последовательных элементов q_1=q_2=q, U=U_1+U_2. Заменим каждое напряжение отношением q/C: q/C=q/C_1+q/C_2, откуда 1/C=1/C_1+1/C_2. Сначала складывались напряжения для одного заряда, поэтому обратные ёмкости появляются естественно. На меньшей C при том же q напряжение больше. Для двух одинаковых элементов эквивалентная ёмкость вдвое меньше одной: тот же заряд требует вдвое большего суммарного U.

Перепишем результат для двух элементов: C=C_1C_2/(C_1+C_2). Общая ёмкость меньше каждой отдельной — полезная проверка арифметики. Если одна ёмкость намного больше другой, почти всё напряжение приходится на меньшую, и общая ёмкость приближается к ней снизу. Поэтому очень большая C в последовательной цепочке не делает её общую ёмкость очень большой: наиболее сильный рост напряжения создаёт элемент с меньшей ёмкостью.

Теперь подключим обе пары обкладок к одной паре узлов. Это параллельное соединение: U=U_1=U_2, потому что сравниваются те же два потенциала. Суммарный заряд положительных обкладок q=q_1+q_2. Разные C при одном U дают разные заряды: большая ёмкость принимает больше. Речь не о суммарном заряде всех положительных и отрицательных обкладок вместе — он может оставаться нулевым.

Подставим q_1=C_1U и q_2=C_2U в сумму зарядов: q=(C_1+C_2)U, значит, C=C_1+C_2. Добавленная ветвь увеличивает заряд при том же напряжении, подобно дополнительной площади пластин. Общая C больше любой отдельной, а для двух одинаковых элементов удваивается. Это хорошая проверка отличия от последовательного соединения: там складываются напряжения при одном заряде, здесь заряды при одном напряжении.

Конденсаторы 2 мкФ и 3 мкФ подключили параллельно к 10 В. Найдите общую ёмкость и суммарный заряд положительных обкладок.

При параллельном соединении напряжение на обоих конденсаторах одинаково.

Ёмкости складываются: C=2+3=5 мкФ.

q=CU=5·10⁻⁶×10=50·10⁻⁶ Кл=50 мкКл.

Проверка по ветвям: 20 мкКл + 30 мкКл = 50 мкКл.

C=5 мкФ, q=50 мкКл.

Ёмкость характеризует связь заряда одной обкладки с напряжением; нулевая сумма зарядов пары не исключает поля и энергии.

Изменение энергии нужно анализировать вместе с условиями: изоляция сохраняет q, идеальный источник — U.

Последовательное соединение складывает напряжения при равных зарядах, параллельное — заряды при общем напряжении.

Далее рассмотрим непрерывный перенос заряда — электрический ток.