Преломление и линзы

Ложка в стакане кажется сломанной на границе воды и воздуха. Если свет способен менять направление при переходе между средами, можно ли подобрать поверхности так, чтобы собрать изображение?

От подводной части ложки свет идёт через воду, затем через воздух. Скорость света в этих средах различается, а при наклонном переходе обычно меняется и направление — происходит преломление. Глаз продолжает пришедшие направления мысленно по прямым, поэтому видимая подводная часть смещается. При падении точно по нормали направления остаются симметричными, и луч не поворачивает, хотя его скорость меняется. Значит, одно изменение скорости ещё не означает поворот в любом случае.

При входе из воздуха в воду луч приближается к нормали, а при выходе существующий преломлённый луч отклоняется от неё. Почему связь со скоростью разумна? У световой волны при наклонном входе одна часть раньше попадает в медленную среду; положение одинаковой стадии волны меняет наклон, меняется и направление распространения. Среду с меньшей скоростью называют оптически более плотной. Это характеристика света в среде, а не простое сравнение масс килограмма воды и стекла.

Одна плоская граница меняет направление луча один раз. У линзы две преломляющие поверхности: прозрачное тело последовательно направляет лучи при входе и выходе. Из-за кривизны поверхностей разные части пучка встречают разные нормали. В модели тонкой линзы её толщина мала по сравнению с основными расстояниями задачи, а построения относятся к лучам недалеко от главной оси. Так сложное двукратное преломление заменяется простыми правилами.

Посветим на собирающую линзу пучком, параллельным главной оси. В принятой модели вышедшие лучи сходятся в одной точке — главном фокусе; здесь можно получить светлое пятно на экране. Главная ось проходит через оптический центр. Если направить такой пучок с другой стороны, получится второй главный фокус. Это не значит, что свет от любого предмета всегда собирается в фокусе: условие здесь — входящий пучок параллелен оси.

Рассеивающая линза действует на тот же параллельный пучок иначе: лучи после неё расходятся. Продлим их назад — продолжения встретятся в главном мнимом фокусе перед линзой. Он указывает, откуда кажутся исходящими вышедшие лучи, но после линзы свет там не собирается. Аналогия с зеркалом помогает отличить реальное пересечение от кажущегося: мнимость относится к построению, а не к отсутствию света.

В тонкой линзе модуль фокусного расстояния — расстояние от оптического центра до главного фокуса, в метрах. Для расчётов вводят знак: F > 0 у собирающей линзы, F < 0 у рассеивающей. Отрицательное F не означает отрицательную длину, измеренную линейкой; знак кодирует тип действия. Если фокус параллельного пучка ближе, та же линза сильнее меняет направления лучей на одинаковом удалении от оси.

Удобно характеризовать действие величиной, растущей при уменьшении фокусного расстояния: оптическая сила D = 1/F, где F обязательно в метрах. Единица — диоптрия, 1 дптр = 1 м⁻¹. Вдвое меньший модуль F даёт вдвое больший модуль D; знак D совпадает со знаком F. При очень далёком фокусе D близка к нулю: лучи меняют направление слабо. Приписывать формуле буквальное F = 0 нельзя — такая подстановка не описывает обычную тонкую линзу.

Чтобы найти изображение, не нужно изображать каждый луч. Из вершины предмета проведём один параллельно главной оси: его дальнейший путь известен по определению фокуса. После собирающей линзы он идёт через дальний главный фокус. После рассеивающей идёт так, что продолжение назад проходит через ближний фокус. Следи, где линия является настоящим путём света, а где лишь вспомогательным продолжением.

Второй удобный луч проведём из той же вершины через оптический центр: в идеализированной тонкой линзе он идёт без изменения направления, а для реальной тонкой линзы это приближение. Если два вышедших луча действительно пересеклись, в этой точке собирается свет от вершины. Получилось действительное изображение, которое можно принять экраном. Если пересекаются только продолжения назад, нужен вывод о мнимом изображении, как у зеркала.

Поместим предмет перед собирающей линзой дальше 2F и построим оба луча от его вершины. Они пересекаются по другую сторону оси за линзой между F и 2F: изображение перевёрнуто и уменьшено. По мере удаления предмета оно приближается к фокусу и уменьшается. При положении предмета в 2F симметрия построения даёт изображение в 2F по другую сторону, того же размера. Эти признаки следуют из пересечения лучей, а не из одного названия линзы.

Передвинем предмет между F и 2F. Лучи после линзы теперь пересекаются дальше 2F: действительное изображение остаётся перевёрнутым, но становится увеличенным. При приближении предмета к F экран приходится уносить всё дальше. В самом фокусе вышедшие от одной точки лучи параллельны и на конечном расстоянии не собираются. Этот предельный случай объясняет, почему нельзя продолжать искать обычное экранное изображение рядом с линзой.

А если предмет окажется ещё ближе, чем F? После собирающей линзы лучи от его вершины расходятся. Продолжения назад пересекаются со стороны предмета и дают прямое увеличенное мнимое изображение — так действует лупа. Линза по-прежнему собирающая: она уменьшила расхождение, но не смогла превратить его в сходящийся пучок при таком положении предмета. Поэтому название линзы не гарантирует действительного изображения в любых условиях.

Для реального предмета перед рассеивающей линзой вышедшие лучи расходятся, а продолжения дают изображение между линзой и ближним фокусом. Оно мнимое, прямое и уменьшенное. При приближении предмета к линзе изображение тоже приближается к ней и становится ближе по размеру к предмету, оставаясь уменьшенным в этой модели. Экран после линзы его не получает: глаз видит направление пришедшего света, а не реальное соединение лучей в кажущейся точке.

Проверим расчёт оптической силы для собирающей линзы: F = 20 см = 0,20 м. Тогда D = 1/0,20 = +5 дптр. Если ошибочно разделить единицу на 20, получится величина, обратная сантиметру, которую нельзя назвать диоптриями без перевода. Для рассеивающей линзы с таким же модулем расстояния было бы −5 дптр. Проверка проста: более близкий фокус должен означать больший модуль D, а знак должен соответствовать типу линзы.

Собирающая тонкая линза имеет F = 10 см. Предмет расположен в 5 см перед ней. Можно ли получить изображение этого предмета на экране за линзой?

Сначала сравниваем положение с фокусом: 5 см < 10 см. Предмет находится внутри фокусного расстояния собирающей линзы.

Строим луч параллельно оси и луч через центр. За линзой они расходятся; пересекаются только их продолжения назад со стороны предмета.

Следовательно, изображение прямое, увеличенное и мнимое. Экран за линзой не соберёт его, потому что реальные лучи там не сходятся, хотя глаз через линзу изображение увидит.

Нет; изображение мнимое, прямое и увеличенное. Линза работает как лупа, а не создаёт изображение на экране за ней.

Преломление меняет направление на границе сред при наклонном переходе; линза управляет лучами двумя поверхностями.

D = 1/F выражает действие линзы через обратное фокусное расстояние в метрах, с согласованным знаком.

Тип изображения определяется реальными лучами и их продолжениями, а также положением предмета относительно фокуса.

В дальнейшем точные законы преломления и формула линзы позволят дополнить эти построения расчётом расстояний.