Работа, мощность и энергия

Два гладких спуска начинаются на одной высоте и заканчиваются внизу. Один круче, другой длиннее. Если отпустить одинаковые тела из покоя, какое окажется быстрее у подножия? Найдём ответ, не вычисляя ускорение на каждом участке.

Поднимая груз, мы передаём энергию взаимодействием через движение. Эту передачу описывает работа силы. Важен вклад силы вдоль перемещения её точки приложения: толкающая вперёд сила совершает положительную работу, тормозящая — отрицательную. Перпендикулярная составляющая может поворачивать скорость, не меняя её модуля у материальной точки. Само наличие большой силы без перемещения ещё не означает механической работы.

Для постоянной силы её составляющая вдоль перемещения равна F\cos\alpha. Поэтому работа A=FS\cos\alpha, где F — модуль силы, S — модуль перемещения точки приложения, \alpha — угол между ними. При 0° работа максимальна и положительна, при 90° нулевая, при 180° отрицательна. Если сила меняется по ходу пути, разбиваем движение на малые участки и складываем работы: одно значение силы для всего пути может не подойти.

Чтобы связать работу с измерениями, возьмём силу 1 Н и перемещение 1 м по её направлению. Полученная работа — 1 Дж, то есть 1\,\text{Дж}=1\,\text{Н}\cdot\text{м}=1\,\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}^2. Работа и энергия имеют одну единицу, поскольку работа описывает передачу энергии. Если ту же силу направить поперёк перемещения, работа станет нулевой, хотя её величина и длина пути остались прежними.

Разгоним тело постоянной силой на прямой. По динамике F=ma, а по кинематике v^2-v_0^2=2aS. Умножая вторую связь на m/2, получаем FS=mv^2/2-mv_0^2/2: работа меняет величину E_{\text{к}}=mv^2/2. Это кинетическая энергия. Формула относится к поступательному движению в классической механике; для вращающегося тела есть ещё энергия вращения. Единицы кг и м/с дают джоули.

Удвоение массы при прежней скорости удваивает кинетическую энергию, удвоение скорости — увеличивает вчетверо. Поэтому на остановку быстро едущего тела требуется гораздо больше отрицательной работы. При одинаковой тормозящей силе вчетверо больший запас энергии требует вчетверо большего тормозного пути. Направление движения знак энергии не меняет: два встречных тела могут иметь нулевой суммарный импульс и положительную суммарную кинетическую энергию.

Поднятый груз может разогнаться при падении. Запас, связанный с взаимным положением тела и Земли, описываем потенциальной энергией E_{\text{п}}=mgh в однородном поле. Высота h отсчитывается от выбранного нуля. Перенесём ноль выше: все значения изменятся, но разность для двух положений останется прежней. Поэтому отрицательная потенциальная энергия допустима; наблюдаемый обмен энергией определяется её изменением, а не произвольным нулём.

При спуске с h_1 на h_2 тяжесть совершает работу A_{\text{тяж}}=mg(h_1-h_2). Каждый вертикальный шаг вниз даёт положительный вклад, вверх — отрицательный, а горизонтальные шаги не дают вклада. Поэтому детали пути сокращаются, остаётся разность высот. Если начало и конец на одной высоте, полная работа тяжести нулевая. Так становится понятным, почему гладкий длинный спуск может дать ту же конечную скорость, что и короткий крутой.

Растягивая пружину, нельзя считать силу постоянной: она растёт от нуля до k\Delta l. Площадь под графиком силы — треугольник, поэтому запасённая энергия E_{\text{упр}}=k(\Delta l)^2/2. Удвоение деформации увеличивает энергию вчетверо: сила в среднем тоже удваивается. Одинаковые по модулю сжатие и растяжение запасают одинаковую энергию. Ноль выбираем у недеформированной пружины; закон Гука должен выполняться на всём рассматриваемом участке.

Пусть пружина меняет деформацию от x_1 до x_2. При восстановлении формы её запас энергии уменьшается и переходит в другие формы; работа упругости A_{\text{упр}}=kx_1^2/2-kx_2^2/2. Если модуль деформации уменьшается, работа положительна. Если мы ещё сильнее растягиваем пружину, её сила направлена против перемещения и работа отрицательна. При одинаковых начальном и конечном модулях деформации эта работа равна нулю.

Два двигателя подняли один груз на одну высоту, но один сделал это быстрее. Работа одинаковая, скорость передачи энергии различается. Её описывает мощность N: средняя N_{\text{ср}}=A/\Delta t, единица 1\,\text{Вт}=1\,\text{Дж/с}. При прежней работе вдвое меньшее время требует вдвое большей средней мощности. Здесь N означает мощность, а в предыдущем уроке этой буквой обозначалась реакция опоры; различить их помогают контекст и единицы.

За малое время точка приложения силы проходит v\Delta t. Делим её работу на это время и получаем мгновенную мощность N=\vec F\cdot\vec v=Fv\cos\alpha. При сонаправленных силе и скорости удвоение любой из них удваивает мощность, если другая неизменна. При перпендикулярности она нулевая. Удерживаемый неподвижно груз не получает механическую энергию этим способом, хотя мышцы человека расходуют внутреннюю энергию.

На гладком спуске уменьшается запас энергии положения и увеличивается энергия движения. Соберём их в механическую энергию E_0=E_{\text{к}}+E_{\text{п}}. В потенциальную часть включаем взаимодействия выбранной системы, например тела с Землёй и с пружиной. Это способ учёта: одну и ту же передачу нельзя одновременно посчитать как работу тяжести и как отдельную потерю сверх изменения её потенциальной энергии.

Если силы, не включённые в потенциальную энергию, в сумме не совершают работы, то E_{\text{к}1}+E_{\text{п}1}=E_{\text{к}2}+E_{\text{п}2}. Для неподвижного гладкого спуска реакция перпендикулярна движению и работы не совершает. Поэтому при одинаковых начальных скоростях и разности высот конечные скорости одинаковы. Длительность спуска может различаться: энергетический баланс отвечает на вопрос о скорости, но сам по себе не даёт времени.

Если остальная работа ненулевая, баланс для тела и выбранных консервативных взаимодействий принимает вид \Delta E_0=A_{\text{ост}}. Тяга может увеличить механическую энергию, трение о неподвижную поверхность — уменьшить. Убывшая часть не исчезает: для системы тела и поверхности растёт внутренняя энергия, возможен звук. При учёте деформируемых и нагревающихся частей системы нужен полный энергетический баланс; нельзя объявлять механическую энергию всей энергией.

Тело 2 кг без начальной скорости скользит без трения с высоты 5 м. Найдите скорость внизу, приняв g=10 м/с².

Система включает тело и Землю. Трение отсутствует, реакция перпендикулярна движению и работы не совершает.

Ноль потенциальной энергии выбираем внизу. В начале E= mgh = 2×10×5 = 100 Дж.

Внизу та же энергия кинетическая: mv²/2=100. При m=2 кг получаем v²=100.

v=10 м/с. Масса сократилась бы в общем уравнении: результат не зависит от массы тела.

Скорость внизу 10 м/с. В начале система имела 100 Дж энергии положения, внизу тело имеет 100 Дж энергии движения; более тяжёлое тело получило бы больший запас, но потребовало бы столько же раз больше энергии для той же скорости.

Работа учитывает составляющую силы вдоль движения. Из закона Ньютона и кинематики следует энергия движения mv²/2.

Потенциальная энергия описывает запас взаимодействия; её изменение имеет смысл независимо от выбранного нуля.

Гладкие спуски с одинаковой разностью высот дают одинаковую конечную скорость при одинаковом старте. Трение требует учесть переход энергии во внутреннюю.

Далее применим силы к давлению покоящейся жидкости.