Скорость, средняя скорость и графики

Два велосипедиста приехали в одну точку, но один затратил вдвое меньше времени. Чем выразить эту разницу? А если он по дороге останавливался, можно ли одним числом описать всю поездку?

Представим дорожку с метками через 2 м: велосипедист проходит ровно одну такую часть каждую секунду. За любые равные промежутки времени получаются равные пути — это равномерное движение. Число 2 м/с сообщает, сколько метров прибавляется к пути за секунду. Длительность обозначаем t, единица — секунда, с. Равномерность относится к быстроте движения; для неизменности направления дополнительно нужно, чтобы движение было прямолинейным.

Как получить число метров за одну секунду, если измерен длинный участок? При постоянной быстроте пути за одинаковые секунды равны, поэтому весь путь s делим на длительность t: v = s/t. Если за то же время пройти вдвое дальше, скорость вдвое больше; если тот же путь проходить вдвое дольше, она вдвое меньше. Подставляя метры и секунды, получаем м/с. Деление имеет смысл при t > 0: мгновение нулевой длительности не является измеренным интервалом.

Теперь известна постоянная скорость. За одну секунду прибавляется v метров, за t секунд — s = vt. Удвоим время движения без изменения скорости — путь удвоится. Если же нужен срок прохождения заданного пути, делим его на прирост за секунду: t = s/v. Для того же пути большая скорость означает меньшее время; при v = 0 ненулевой путь пройти нельзя. Это три способа ответить на разные вопросы об одной зависимости, действующей при постоянной скорости.

Реальная прогулка включает разгон, спокойную ходьбу и остановку. Одно число не восстановит все подробности, но позволит сравнить целые поездки. Средняя путевая скорость — такая постоянная быстрота, с которой можно пройти тот же полный путь за то же полное время. Она не утверждает, что человек всё время двигался именно так. Если две прогулки имеют одинаковые путь и длительность, их средние скорости равны, хотя движения внутри маршрута могут сильно различаться.

Почему нельзя просто усреднить два показания скорости? Если быстро ехали минуту, а медленно — час, второй участок гораздо сильнее определяет результат. Поэтому сначала складываем пути и времена: vср = (s₁ + s₂)/(t₁ + t₂), добавляя в знаменатель и остановки. Среднее арифметическое двух скоростей получается только при равных длительностях участков. Увеличим остановку, не меняя путь: средняя скорость уменьшится, хотя скорость самой ходьбы останется прежней.

На графике s(t) время откладывают горизонтально, накопленный путь — вертикально. Возьмём одинаковые шаги по времени и сравним подъём линии: больший прирост пути означает большую скорость. Поэтому более крутой участок соответствует большей скорости, если шкалы осей те же. Прямая наклонная линия показывает равномерное движение, горизонтальная — остановку. Путь не может убывать: линия вниз означала бы, что изображена другая величина, например координата.

Спидометр может показывать одну и ту же скорость сейчас у двух автомобилей, но один уже тормозит, а другой разгоняется. Для различения нужно знать, как меняется скорость за время. Это характеризует ускорение. При прямолинейном движении изменение на 2 м/с за каждую секунду соответствует ускорению по модулю 2 м/с². Одна секунда здесь относится к скорости, другая — к сроку её изменения. Поворот тоже меняет скорость как направленную величину, даже при постоянной быстроте.

Чтобы не спутать разгон с направлением движения, выберем неподвижную ось. Проекция vₓ — скорость со знаком: положительным вдоль оси и отрицательным против неё. Из конечной проекции вычитаем начальную и делим изменение на длительность: aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t. Это средняя проекция ускорения за интервал t > 0. То же изменение за вдвое меньшее время означает вдвое большее ускорение; при неизменной проекции числитель и ускорение равны нулю.

Тело движется вдоль оси и за 2 с снижает скорость с 6 до 2 м/с. Изменение проекции равно −4 м/с, поэтому aₓ = (2 − 6)/2 = −2 м/с². Здесь минус сопровождает торможение. Но представим движение против оси: проекция меняется с −2 до −6 м/с. Ускорение снова отрицательно, а быстрота растёт! Знак показывает направление изменения скорости; для вывода о разгоне или торможении нужно сравнить направления скорости и ускорения.

Ученик прошёл 300 м за 200 с, затем стоял 100 с. Найдите среднюю путевую скорость за все 300 с.

Путь во время остановки не добавлялся: всего 300 м. Время остановки входит в длительность наблюдения.

Средняя скорость: 300 м / 300 с = 1 м/с.

Это меньше скорости во время ходьбы 300/200 = 1,5 м/с, что согласуется с остановкой.

Средняя путевая скорость 1 м/с.

Скорость связывает путь и длительность; средняя путевая скорость описывает весь маршрут, включая остановки.

На графике пути нужно сравнивать приросты за равное время: остановка не добавляет путь, возврат добавляет.

Ускорение описывает изменение направленной скорости. Отрицательный знак сам по себе не означает торможение.

Описывать изменение скорости уже умеем. Дальше разберёмся, почему разные тела по-разному реагируют на воздействие.