อัตราเร็ว อัตราเร็วเฉลี่ย และกราฟ

นักปั่นจักรยานสองคนมาถึงจุดเดียวกัน แต่คนหนึ่งใช้เวลาเพียงครึ่งเดียว เราจะใช้ปริมาณใดบอกความต่างนี้? และถ้าระหว่างทางมีการหยุดพัก เราจะใช้ตัวเลขเดียวอธิบายการเดินทางทั้งหมดได้หรือไม่?

ลองนึกถึงทางที่มีเครื่องหมายทุก 2 เมตร นักปั่นผ่านหนึ่งช่วงพอดีในทุกวินาที ในช่วงเวลาที่เท่ากันใด ๆ จึงเคลื่อนที่ได้ระยะทางเท่ากัน นี่คือการเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงตัว ค่า 2 เมตรต่อวินาทีบอกว่าระยะทางเพิ่มขึ้นกี่เมตรในหนึ่งวินาที เราแทนช่วงเวลาด้วย t หน่วยคือวินาที ซึ่งใช้สัญลักษณ์ с ในสูตรนี้ อัตราเร็วคงตัวหมายถึงเคลื่อนที่เร็วเท่าเดิม หากต้องการให้ทิศทางไม่เปลี่ยนด้วย การเคลื่อนที่ต้องเป็นแนวตรง

ถ้าเราวัดการเคลื่อนที่ช่วงยาว จะหาระยะทางในหนึ่งวินาทีได้อย่างไร? เมื่ออัตราเร็วคงตัว แต่ละวินาทีได้ระยะทางเท่ากัน จึงนำระยะทางทั้งหมด s หารด้วยช่วงเวลา t: v = s/t ถ้าเคลื่อนที่ได้ไกลเป็นสองเท่าในเวลาเท่าเดิม อัตราเร็วก็เป็นสองเท่า ถ้าใช้เวลาเป็นสองเท่าสำหรับระยะทางเท่าเดิม อัตราเร็วจะเหลือครึ่งหนึ่ง เมื่อใช้เมตรและวินาที หน่วยที่ได้คือเมตรต่อวินาที การหารนี้ใช้ได้เมื่อ t > 0 เพราะขณะหนึ่งที่มีช่วงเวลาเป็นศูนย์ไม่ใช่ช่วงเวลาที่วัดได้

คราวนี้เรารู้อัตราเร็วคงตัวแล้ว ในหนึ่งวินาทีระยะทางเพิ่มขึ้น v เมตร และใน t วินาทีได้ s = vt ถ้าเพิ่มเวลาเป็นสองเท่าโดยไม่เปลี่ยนอัตราเร็ว ระยะทางก็เป็นสองเท่า หากต้องการหาเวลาที่ใช้ผ่านระยะทางที่กำหนด ให้นำระยะทางหารด้วยระยะที่เพิ่มในหนึ่งวินาที: t = s/v สำหรับระยะทางเท่าเดิม อัตราเร็วยิ่งมากยิ่งใช้เวลาน้อย แต่เมื่อ v = 0 จะเคลื่อนที่ผ่านระยะทางที่ไม่เป็นศูนย์ไม่ได้ ทั้งสามสูตรใช้ตอบคนละคำถามจากความสัมพันธ์เดียวกันที่ใช้เมื่ออัตราเร็วคงตัว

การเดินจริงมีทั้งช่วงเร่ง เดินสบาย ๆ และหยุดพัก ตัวเลขเดียวบอกรายละเอียดทั้งหมดไม่ได้ แต่ช่วยเปรียบเทียบการเดินทางทั้งครั้งได้ อัตราเร็วเฉลี่ยคืออัตราเร็วคงตัวที่จะทำให้ผ่านระยะทางรวมเท่าเดิมในเวลารวมเท่าเดิม ไม่ได้หมายความว่าเราเดินด้วยอัตราเร็วค่านั้นตลอด หากการเดินสองครั้งมีระยะทางและช่วงเวลาเท่ากัน อัตราเร็วเฉลี่ยก็เท่ากัน แม้การเคลื่อนที่ในแต่ละช่วงจะต่างกันมากก็ตาม

ทำไมจึงนำค่าอัตราเร็วสองค่ามาเฉลี่ยตรง ๆ ไม่ได้? หากเคลื่อนที่เร็วหนึ่งนาทีแต่เคลื่อนที่ช้าหนึ่งชั่วโมง ช่วงหลังย่อมมีผลต่อคำตอบมากกว่า เราจึงต้องรวมระยะทางและเวลาก่อน: vср = (s₁ + s₂)/(t₁ + t₂) และนับเวลาหยุดพักรวมในตัวส่วนด้วย การเฉลี่ยอัตราเร็วสองค่าแบบเลขคณิตใช้ได้เมื่อแต่ละช่วงใช้เวลาเท่ากันเท่านั้น ลองหยุดนานขึ้นโดยให้ระยะทางเท่าเดิม อัตราเร็วเฉลี่ยจะลดลง แม้อัตราเร็วขณะเดินจะไม่เปลี่ยน

ในกราฟ s(t) แกนแนวนอนเป็นเวลา ส่วนแกนแนวตั้งเป็นระยะทางสะสม ลองเลือกช่วงเวลาเท่ากัน แล้วดูว่าเส้นกราฟสูงขึ้นเท่าไร ระยะทางที่เพิ่มมากกว่าหมายถึงอัตราเร็วมากกว่า ดังนั้นเส้นที่ชันกว่าจึงหมายถึงเคลื่อนที่เร็วกว่าเมื่อมาตราส่วนของแกนเหมือนกัน เส้นตรงเอียงแสดงอัตราเร็วคงตัว ส่วนเส้นแนวนอนแสดงการหยุด ระยะทางสะสมลดลงไม่ได้ ถ้าเส้นลาดลง แสดงว่ากำลังพล็อตปริมาณอื่น เช่น พิกัด

มาตรวัดอัตราเร็วของรถสองคันอาจแสดงค่าเท่ากันในขณะนี้ แต่คันหนึ่งกำลังเบรก อีกคันกำลังเร่ง เราต้องดูว่าความเร็วเปลี่ยนตามเวลาอย่างไรจึงจะแยกสองกรณีนี้ได้ ปริมาณที่บอกเรื่องนี้คือความเร่ง ในการเคลื่อนที่แนวตรง ถ้าความเร็วเปลี่ยน 2 เมตรต่อวินาทีในทุกวินาที ขนาดความเร่งจะเท่ากับ 2 เมตร/วินาที² วินาทีตัวหนึ่งอยู่ในหน่วยความเร็ว อีกตัวบอกช่วงเวลาที่ความเร็วเปลี่ยน การเลี้ยวก็ทำให้ความเร็วเปลี่ยน เพราะความเร็วมีทิศทาง แม้อัตราเร็วจะคงตัวก็ตาม

เพื่อไม่สับสนระหว่างการเร่งให้เร็วขึ้นกับทิศทางการเคลื่อนที่ ให้เลือกแกนที่อยู่นิ่ง องค์ประกอบ vₓ คือความเร็วตามแกนที่มีเครื่องหมาย เป็นบวกเมื่อตามทิศแกนและเป็นลบเมื่อสวนทิศแกน นำองค์ประกอบสุดท้ายลบด้วยค่าเริ่มต้น แล้วหารด้วยช่วงเวลา: aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t จะได้องค์ประกอบความเร่งเฉลี่ยในช่วง t > 0 ถ้าความเร็วเปลี่ยนเท่าเดิมแต่ใช้เวลาเพียงครึ่งเดียว ความเร่งจะเป็นสองเท่า หากองค์ประกอบความเร็วไม่เปลี่ยน ตัวเศษและความเร่งจะเป็นศูนย์

วัตถุเคลื่อนที่ตามทิศบวกของแกน และในเวลา 2 วินาทีลดอัตราเร็วจาก 6 เหลือ 2 เมตรต่อวินาที องค์ประกอบความเร็วเปลี่ยนไป −4 เมตรต่อวินาที จึงได้ aₓ = (2 − 6)/2 = −2 м/с² กรณีนี้เครื่องหมายลบเกิดพร้อมกับการชะลอ แต่ลองนึกถึงการเคลื่อนที่สวนทิศแกน เมื่อองค์ประกอบเปลี่ยนจาก −2 เป็น −6 เมตรต่อวินาที ความเร่งก็ยังเป็นลบ แต่อัตราเร็วกลับเพิ่มขึ้น! เครื่องหมายบอกทิศของการเปลี่ยนความเร็ว จะตัดสินว่าเร็วขึ้นหรือช้าลงต้องเทียบทิศของความเร็วกับความเร่ง

นักเรียนเดิน 300 เมตรในเวลา 200 วินาที แล้วหยุดนิ่ง 100 วินาที จงหาอัตราเร็วเฉลี่ยตลอดเวลา 300 วินาที

ขณะหยุดไม่มีระยะทางเพิ่ม ระยะทางรวมจึงเป็น 300 เมตร แต่ต้องนับเวลาหยุดรวมในช่วงเวลาที่สังเกต

อัตราเร็วเฉลี่ย: 300 м / 300 с = 1 м/с.

ค่านี้น้อยกว่าอัตราเร็วขณะเดิน 300/200 = 1,5 м/с จึงสอดคล้องกับการหยุดพัก

อัตราเร็วเฉลี่ยเท่ากับ 1 เมตรต่อวินาที

อัตราเร็วเชื่อมระยะทางกับช่วงเวลา ส่วนอัตราเร็วเฉลี่ยอธิบายการเดินทางทั้งหมดรวมการหยุดพักด้วย

ในกราฟระยะทางกับเวลา ให้เทียบระยะทางที่เพิ่มในช่วงเวลาเท่ากัน การหยุดไม่เพิ่มระยะทาง แต่การย้อนกลับเพิ่มระยะทาง

ความเร่งอธิบายการเปลี่ยนแปลงของความเร็วซึ่งมีทิศทาง เครื่องหมายลบเพียงอย่างเดียวไม่ได้หมายถึงการชะลอ

ตอนนี้เราอธิบายการเปลี่ยนความเร็วได้แล้ว ต่อไปจะดูว่าทำไมวัตถุต่างกันจึงตอบสนองต่อการกระทำต่างกัน