Внутренняя энергия и первый закон

Газ в теплоизолированном сосуде поднимает поршень и выполняет работу. Откуда взялась переданная наружу энергия, если теплота не поступала? Ответ потребует отдельно отслеживать запас внутри газа и способы передачи через его границу.

Можно быстро нести закрытый термос и при этом не нагревать его содержимое. Движение системы как целого нужно отделить от движения и взаимодействия её частиц. Последние определяют внутреннюю энергию U, измеряемую в джоулях. Выбирая систему «газ», сравниваем её конечное и начальное состояния: \Delta U=U_2-U_1. Положительная разность означает увеличение внутреннего запаса, отрицательная — уменьшение; она не сообщает сама по себе, как именно была передана энергия.

Возьмём одноатомный идеальный газ: взаимодействием частиц между столкновениями пренебрегаем, а вращательные и колебательные движения молекул учитывать не нужно. Каждая частица имеет среднюю поступательную энергию 3kT/2, поэтому сумма по частицам даёт U=3\nu RT/2. Здесь \nu=m/M в молях, T в К. Удвоение количества газа при той же температуре удваивает U. Коэффициент 3/2 связан с тремя направлениями поступательного движения.

Если вместо температуры известны давление и объём, повторного описания частиц не требуется. Из pV=\nu RT получаем U=3mRT/(2M)=3pV/2 для того же одноатомного идеального газа. Па·м³ дают джоули. При фиксированном количестве газа одинаковое произведение pV означает одинаковую U, даже если p и V по отдельности различаются. Для многоатомного газа возможны дополнительные вращательные и колебательные вклады; коэффициент 3/2 к полной энергии автоматически не переносится.

Чтобы узнать изменение запаса, вычтем значения 3mRT/(2M) для двух состояний одной порции: \Delta U=3mR\Delta T/(2M). Здесь \Delta T=T_2-T_1; охлаждение даёт отрицательную разность и отрицательную ΔU. Вдвое больший температурный сдвиг при прежней массе даёт вдвое большее изменение энергии. Массы m и M согласуем в кг и кг/моль. Разность температур имеет одинаковое численное значение в К и °C, хотя сами температуры в формуле U требуют К.

Когда газ расширяется и толкает поршень, он передаёт энергию окружающим телам. Назовём работу самого газа A и считаем её положительной при расширении. При сжатии окружающие тела передают энергию газу: их работа A\prime положительна, а A отрицательна. Для одной и той же передачи A\prime=-A. Знак не оценивает пользу процесса; он фиксирует, с какой стороны границы системы мы считаем передачу энергии.

Пусть газ медленно поднимает поршень площадью S на расстояние l при постоянном давлении p. Сила равна pS, поэтому работа A=pSl=p\Delta V, ведь \Delta V=Sl=V_2-V_1. При вдвое большем объёмном приросте работа вдвое больше; при сжатии ΔV отрицательно. Давление в Па и объём в м³ дают Дж. Медленное движение позволяет считать газ близким к равновесию; при быстром процессе давление может быть неодинаковым по объёму.

Если измерять ход поршня неудобно, воспользуемся температурой. Для неизменной порции идеального газа при постоянном p вычитание двух уравнений состояния даёт p\Delta V=(m/M)R\Delta T. Следовательно, A=(m/M)R\Delta T: при нагревании газ расширяется и совершает положительную работу. При переменном давлении одного произведения p на общий прирост объёма недостаточно; работу находят по отдельным малым участкам, учитывая меняющееся давление.

Газ может получить энергию теплообменом и отдать её работой. Обозначим полученную теплоту Q положительной, отданную — отрицательной. Тогда сохранение энергии записывается как \Delta U=Q-A, или Q=\Delta U+A: входящая энергия либо меняет внутренний запас, либо передаётся наружу работой. При Q = 0 положительная работа уменьшает U. Теплота не хранится внутри как отдельное вещество: Q характеризует передачу, а U — состояние системы.

В условии может быть дана работа, совершённая над газом. Тогда удобнее записать \Delta U=Q+A\prime: обе положительные величины описывают поступление энергии. Если газ сжимают без теплообмена, \Delta U=A\prime>0, и внутренний запас растёт. Это тот же первый закон, поскольку A\prime=-A. Перед вычислением подпиши источник работы словами: «газ совершил» или «над газом совершили». Такая проверка предотвращает смену знака без физической причины.

Нагреем газ в жёстком сосуде. Граница не перемещается, поэтому работа расширения A = 0. Если иных способов работы нет, первый закон даёт Q=\Delta U: всё переданное теплообменом увеличивает внутреннюю энергию, при охлаждении обе величины отрицательны. Постоянный объём сам по себе не запрещает любую работу: мешалка внутри газа могла бы передавать энергию при неизменном V. В нашем изохорном примере такую работу исключаем.

Расширим ту же порцию идеального газа, сохраняя температуру. Для идеального газа U зависит от температуры и количества, поэтому \Delta U=0. Но поршень движется и работа может быть положительной: тогда требуется Q=A. Поступающая теплота восполняет энергию, переданную работой. Поэтому «температура не меняется» не означает «теплота не передаётся». При изотермическом сжатии знаки работы и теплоты обратятся: энергию нужно отводить.

Под постоянной нагрузкой поршня нагревание одноатомного идеального газа делает сразу две вещи: усиливает тепловое движение частиц и расширяет газ. Первый вклад \Delta U=3\nu R\Delta T/2, второй A=\nu R\Delta T, а вместе Q=\Delta U+A. Значит, для того же роста температуры при постоянном давлении нужно больше теплоты, чем при постоянном объёме: часть энергии уходит через движущийся поршень. Условия процесса определяют распределение переданного.

Сложим два вклада: Q=5\nu R\Delta T/2. На внутреннюю энергию приходится 3/5 этого значения, на работу — 2/5: \Delta U=0{,}6Q, A=0{,}4Q. Если при тех же условиях вдвое увеличить подводимую теплоту, оба вклада удвоятся, но доли сохранятся. Это следствие конкретной модели одноатомного идеального газа при постоянном давлении и только работе расширения. Для другого газа или закреплённого поршня прежние доли неверны.

Газ получил 300 Дж теплоты и совершил работу 120 Дж. Как изменилась внутренняя энергия?

Q=+300 Дж: энергия поступила с теплотой. A=+120 Дж: газ передал энергию работой.

Выбираем ΔU=Q−A, потому что A — работа самого газа.

ΔU=300−120=180 Дж. Положительный знак означает увеличение внутренней энергии.

Проверка: 180 Дж осталось в газе, 120 Дж передано работой; вместе это полученные 300 Дж.

Внутренняя энергия увеличилась на 180 Дж.

Внутренняя энергия — запас состояния, теплота и работа — способы его изменить через границу системы.

Один баланс можно записать ΔU = Q − A или ΔU = Q + A′; знак определяется тем, кто совершает работу.

Формула U = 3νRT/2 и доли 0,6Q/0,4Q требуют одноатомного идеального газа и оговорённых условий процесса.

Далее разберём нагревание, фазовые переходы и работу тепловой машины.