คานและรอก

ลองผลักประตูใกล้บานพับ แล้วผลักใกล้มือจับ แรงเท่ากันให้ผลต่างกัน สิ่งใดทำให้ได้เปรียบ ความยาวประตู จุดที่ผลัก หรือทิศแรงผลัก?

ไม้กระดกอาจสมดุลเมื่อคนหนักอยู่ด้านแขนสั้นและคนเบาอยู่ด้านแขนยาว การเปรียบเทียบแรงอย่างเดียวไม่พอ ต้องดูว่าแรงทำให้ไม้หมุนรอบจุดรองรับได้มากเพียงใด วัตถุแข็งที่หมุนรอบจุดรองรับได้เรียกว่าคาน แรงหนึ่งอาจทำให้หมุนตามเข็มนาฬิกา อีกแรงทำให้หมุนทวนเข็ม ให้กำหนดแกนและทิศที่อาจหมุนก่อน แล้วจึงเปรียบเทียบผลของแรง

ต่อแนวลูกศรแรงออกทั้งสองด้าน จะได้แนวแรง จากแกนลากเส้นตั้งฉากถึงแนวนั้น ความยาว l คือระยะแขนโมเมนต์ ทำไมใช้ระยะนี้? การผลักตามแนวประตูตรงเข้าหาบานพับแทบไม่ทำให้หมุน แม้มืออยู่ไกลแกน เพราะแนวแรงผ่านแกนและระยะแขนโมเมนต์เป็นศูนย์ ระยะถึงจุดออกแรงจึงเท่ากับระยะแขนโมเมนต์เฉพาะเมื่อทิศแรงเหมาะสม ไม่ใช่ทุกกรณี

ผลที่ทำให้หมุนเพิ่มได้ทั้งจากแรงที่มากขึ้นและระยะแขนโมเมนต์ที่ยาวขึ้น วัดด้วยขนาดโมเมนต์ของแรง M = Fl เพิ่มตัวคูณหนึ่งเป็นสองเท่าโดยอีกตัวคงเดิม โมเมนต์เพิ่มเป็นสองเท่า หากแนวแรงผ่านแกน l = 0 และโมเมนต์เป็นศูนย์ แรงหน่วย N คูณระยะหน่วย m ได้ N·m โมเมนต์กับงานมีมิติเดียวกันแต่ความหมายต่างกัน ในที่นี้ไม่ได้กำหนดการกระจัด จึงเรียกหน่วยโมเมนต์ว่านิวตันเมตร ไม่ใช่จูล

เพื่อให้คานที่อยู่นิ่งไม่เริ่มหมุน ผลการหมุนในทิศตรงข้ามต้องสมดุล สำหรับสองแรงเช่นนี้ F₁l₁ = F₂l₂ ระยะแขนโมเมนต์สองเท่าใช้แรงเพียงครึ่งหนึ่ง เพราะผลคูณยังเท่ากัน ต้องคิดโมเมนต์ทุกแรงรวมแรงโน้มถ่วงของคานด้วย ละได้เมื่อโจทย์กำหนด หรือแนวแรงผ่านแกนจึงมีโมเมนต์ศูนย์ สูตรนี้อธิบายสมดุลการหมุนรอบแกนตรึง

พาดเชือกผ่านล้อที่ตรึงแกนไว้ เมื่อดึงลงของจะขึ้น นี่คือรอกเดี่ยวตายตัว ในแบบจำลองอุดมคติ เชือกไม่มีมวล ไม่ยืด และไม่มีแรงเสียดทาน จึงมีแรงตึงเท่ากันทั้งสองด้าน เมื่อยกช้า แรงดึงมีขนาดเท่ากับแรงโน้มถ่วงของของ จึงไม่ได้เปรียบเชิงแรง รอกมีประโยชน์เพราะเปลี่ยนทิศแรงดึงให้สะดวก ทุกระยะหนึ่งเมตรที่ของขึ้น ต้องเลื่อนปลายเชือกอิสระหนึ่งเมตร

คราวนี้แขวนของกับตัวรอกที่เคลื่อนที่ได้ โดยมีเชือกแนวดิ่งสองเส้นรองรับ แต่ละเส้นในอุดมคติมีแรงตึง T เท่ากัน รวมเป็น 2T เมื่อยกช้าและน้ำหนักรอกน้อยจนละได้ 2T = mg ดังนั้นแรงดึงปลายอิสระคือ T = mg/2 รอกเดี่ยวเคลื่อนที่จึงได้เปรียบเชิงแรงสองเท่า หากเชือกเอียงหรือรอกหนัก ต้องทบทวนสมการนี้

เราได้งานมาโดยไม่ต้องจ่ายหรือ? ยกรอกเคลื่อนที่ขึ้น 1 m เชือกที่รองรับแต่ละเส้นจะสั้นลง 1 m จึงต้องดึงเชือกที่ปลายอิสระ 2 m แรงครึ่งหนึ่งกับระยะสองเท่าทำให้ Fs คงเดิม นี่คือกฎทองของกลศาสตร์ เครื่องกลอย่างง่ายในอุดมคติแลกแรงกับระยะทางโดยไม่ลดงาน การติดตามความยาวเชือกแสดงเหตุผลของกฎ ไม่ใช่เพียงให้จำกฎ

รอกจริงมีแรงเสียดทานที่แกน เชือกโค้งงอ และชิ้นส่วนเปลี่ยนรูป การยกเท่าเดิมจึงต้องป้อนงานมากกว่าแบบจำลองอุดมคติ แรงที่น้อยลงอาจช่วยให้ทำงานนั้นได้ แต่ไม่ได้หมายความว่าพลังงานรวมที่ใช้ลดลง แบบจำลองอุดมคติเป็นขอบเขตที่เข้าใจง่าย บอกการได้เปรียบเชิงแรงสูงสุดและช่วยแยกพลังงานเพิ่มเติมที่อุปกรณ์จริงต้องใช้

แรง 50 N มีระยะแขนโมเมนต์ 0.4 m จงหาแรงที่ให้โมเมนต์ตรงข้ามด้วยระยะแขนโมเมนต์ 0.1 m ไม่คิดน้ำหนักคาน

โมเมนต์ของแรงแรกคือ 50·0,4 = 20 Н·м

เพื่อให้สมดุล โมเมนต์ที่สองต้องเป็น 20 N·m เช่นกัน จึงได้ F₂ = 20/0,1 = 200 Н

ระยะแขนโมเมนต์สั้นกว่าสี่เท่า จึงต้องใช้แรงมากกว่าสี่เท่า

แรงคือ 200 N ระยะแขนโมเมนต์สั้นกว่าสี่เท่าต้องใช้แรงมากกว่าสี่เท่าเพื่อให้โมเมนต์เท่าเดิม

โมเมนต์ M = Fl ขึ้นกับระยะถึงแนวแรง แม้ออกแรงไกลแกนก็อาจมีระยะแขนโมเมนต์เป็นศูนย์

โมเมนต์ทิศตรงข้ามที่เท่ากันอธิบายว่าแขนยาวช่วยให้แรงน้อยสมดุลกับแรงมากได้อย่างไร

รอกตายตัวเปลี่ยนทิศดึง รอกเคลื่อนที่ได้เปรียบเชิงแรงแลกกับระยะ เครื่องจริงต้องใช้งานป้อนเพิ่มเติม

สำหรับเครื่องจริง เราจะเปรียบเทียบงานที่เป็นประโยชน์กับงานป้อนทั้งหมด และติดตามการเปลี่ยนรูปพลังงาน