Рычаги и блоки

Попробуй открыть дверь, толкая её возле петель, затем у ручки. Одна и та же сила действует по-разному. Что именно даёт преимущество: длина двери, место приложения или направление толчка?

Качели-доска могут удерживать тяжёлого человека коротким плечом и лёгкого — длинным. Здесь недостаточно сравнить только силы: важна их способность поворачивать доску вокруг опоры. Твёрдое тело, способное вращаться вокруг опоры, называют рычагом. Одна сила может стремиться повернуть его по часовой стрелке, другая — против. Сначала устанавливают ось и направления возможного вращения, затем сравнивают их действия.

Продли стрелку силы в обе стороны: получишь её линию действия. Теперь опусти на неё перпендикуляр от оси. Его длина l — плечо силы. Почему именно оно? Толчок вдоль двери прямо к петлям почти не вращает её, даже если рука далеко от оси: линия действия проходит через ось и плечо равно нулю. Поэтому расстояние до точки приложения равно плечу лишь при подходящем направлении силы, а не всегда.

Вращающее действие растёт как при увеличении силы, так и при увеличении плеча. Его характеризует модуль момента M = Fl. Удвоение одного множителя при неизменном другом удваивает момент; линия через ось даёт l = 0 и нулевой момент. Сила в Н и плечо в м дают Н·м. У момента и работы одинаковая размерность, но разный смысл: здесь перемещение вообще не задано, поэтому единицу момента принято называть ньютон-метром, а не джоулем.

Чтобы неподвижный рычаг не начал вращаться, противоположные вращающие действия должны уравновеситься. Для двух таких сил F₁l₁ = F₂l₂. При вдвое большем плече достаточна вдвое меньшая сила: произведения прежние. Учитываем все моменты, включая тяжесть рычага; ею можно пренебречь, если так задано, либо её момент нулевой из-за прохождения линии действия через ось. Формула относится к равновесию вращения около закреплённой оси.

Перебросим верёвку через колесо с закреплённой осью: тянем вниз, груз поднимается. Это неподвижный блок. В идеальной схеме невесомая нерастяжимая верёвка без трения имеет одинаковое натяжение с обеих сторон. Поэтому при медленном подъёме тяга по модулю равна тяжести груза: выигрыша в силе нет. Блок полезен тем, что меняет направление удобного действия. На каждый метр подъёма груза приходится метр движения свободного конца.

Теперь подвесим груз к самому блоку, который может двигаться, и поддержим его двумя вертикальными ветвями верёвки. В каждой идеальной ветви натяжение T одинаково, вместе они дают 2T. При медленном подъёме и пренебрежимо малом весе блока 2T = mg, поэтому тяга свободного конца T = mg/2. Так подвижный блок даёт двукратный выигрыш. Если ветви наклонены или блок тяжёлый, прежнее равенство требует пересмотра.

Не получилась ли работа бесплатно? Поднимем подвижный блок на 1 м: каждая из двух поддерживающих ветвей укоротится на 1 м. Значит, свободным концом придётся выбрать 2 м верёвки. Сила вдвое меньше, путь вдвое больше, произведение Fs прежнее. Это золотое правило механики: идеальный простой механизм обменивает силу на путь и не даёт выигрыша в работе. Отслеживание длины верёвки показывает причину, а не только готовое правило.

У реального блока вращается ось с трением, верёвка изгибается, детали деформируются. Поэтому для того же подъёма приходится затратить больше работы, чем в идеальной схеме. Меньшее усилие всё ещё может сделать задачу выполнимой, но не означает уменьшения всех энергетических затрат. Идеальная модель нужна как понятная граница: она показывает предельный выигрыш в силе и помогает отдельно учитывать дополнительные затраты реального устройства.

На одном плече 0,4 м действует сила 50 Н. Найдите силу с противоположным моментом на плече 0,1 м. Весом рычага пренебречь.

Момент первой силы: 50·0,4 = 20 Н·м.

Для равновесия второй момент тоже должен быть 20 Н·м. Значит, F₂ = 20/0,1 = 200 Н.

Плечо в четыре раза короче, поэтому сила нужна в четыре раза больше.

Сила 200 Н: в четыре раза более короткое плечо требует в четыре раза большей силы для того же момента.

Момент M = Fl зависит от расстояния до линии силы; даже далёкая от оси сила может иметь нулевое плечо.

Равенство противоположных моментов объясняет, почему длинным плечом можно уравновесить большую силу.

Неподвижный блок меняет направление тяги, подвижный выигрывает в силе за счёт пути. Реальное устройство требует дополнительных затрат работы.

Для реального механизма сравним полезную работу со всеми затратами и проследим превращения энергии.