การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงตัว

จักรยานมีอัตราเร็วเพิ่มขึ้นเท่ากันทุกวินาที ทำไมในวินาทีที่สองจึงไปได้ไกลกว่าวินาทีแรก และทำไมการเพิ่มเวลาเร่งเป็นสองเท่าจึงอาจทำให้ระยะทางเพิ่มเป็นสี่เท่า? ลองติดตามว่าการเปลี่ยนความเร็วสะสมอย่างไร

บันทึกความเร็วในช่วงเวลาเท่ากัน ได้ 2, 4, 6, 8 m/s สิ่งที่เท่ากันไม่ใช่ระยะทางต่อวินาที แต่เป็นความเร็วที่เพิ่มขึ้นครั้งละ 2 m/s หากเวกเตอร์ความเร็วเปลี่ยนเท่ากันในทุกช่วงเวลาที่เท่ากัน ความเร่งจะคงตัว เรียกว่าการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงตัว นี่เป็นแบบจำลอง นักปั่นจริงอาจออกแรงถีบไม่สม่ำเสมอ จะใช้กับทั้งช่วงได้เมื่อสามารถละเลยความแปรผันของความเร่งได้

เพื่อเปรียบเทียบการเร่ง ให้นำการเปลี่ยนองค์ประกอบความเร็วหารด้วยเวลา: a_x=(v_x-v_{0x})/t ค่านี้คือความเร่งเมื่อความเร่งคงตัว หรือเป็นความเร่งเฉลี่ยในช่วงนั้นสำหรับการเคลื่อนที่ทั่วไป หน่วย m/s² หมายถึงความเร็วเปลี่ยนไปเท่านั้นในหน่วย m/s ต่อวินาที หากเพิ่มความเร็วเท่าเดิมในเวลาครึ่งหนึ่ง ความเร่งจะเป็นสองเท่า เมื่อความเร็วไม่เปลี่ยน ตัวเศษเป็นศูนย์ จึงไม่มีความเร่งในการเคลื่อนที่แนวตรงนั้น

เลือกแกนชี้ขวา แล้ว a_x<0 หมายความว่าการเปลี่ยนความเร็วชี้ซ้าย หากวัตถุเคลื่อนที่ไปทางขวา การเปลี่ยนนี้ลดอัตราเร็ว แต่หากเคลื่อนที่ไปทางซ้ายอยู่แล้ว จะเพิ่มอัตราเร็ว เช่น จาก −2 เป็น −4 m/s คือเร็วขึ้น แม้ความเร่งเป็นลบ จึงห้ามถือว่าเครื่องหมายลบหมายถึงการเบรกเสมอ จะตัดสินว่าเร็วขึ้นหรือไม่ต้องเปรียบเทียบทิศความเร็วกับความเร่ง

เมื่อความเร่งคงตัว การเปลี่ยนความเร็วสะสมใน t วินาทีเท่าไร? แต่ละวินาทีเพิ่มเท่ากัน การเปลี่ยนจึงเท่ากับ a_xt บวกกับองค์ประกอบความเร็วเริ่มต้นได้ v_x=v_{0x}+a_xt เมื่อ t=0 องค์ประกอบความเร็วเท่ากับ v_{0x} การเพิ่มเวลาเป็นสองเท่าทำให้ส่วนที่เพิ่มเป็นสองเท่า ไม่จำเป็นต้องทำให้ความเร็วทั้งหมดเป็นสองเท่า เมื่อ a_x=0 ความเร็วคงเดิม สูตรจึงรวมการเคลื่อนที่สม่ำเสมอเป็นกรณีพิเศษด้วย

สมมติวัตถุเคลื่อนที่ขวา แต่ความเร่งชี้ซ้ายตลอด ความเร็วจะลดลงจนเป็นศูนย์ก่อน แต่ความเร็วศูนย์ไม่ได้ทำให้ความเร่งหายไป การเปลี่ยนต่อไปทำให้องค์ประกอบความเร็วเป็นลบและวัตถุเคลื่อนที่ซ้าย ลูกบอลที่โยนขึ้นภายใต้แรงโน้มถ่วงก็เป็นเช่นนี้ ส่วนรถยนต์ที่เบรกมักต้องเปลี่ยนแบบจำลองหลังหยุด ไม่ควรใช้ความเร่งเดิมต่อโดยอัตโนมัติ

หาการกระจัดจากความเร็วได้อย่างไร? เมื่อความเร็วคงตัวในเวลาสั้น ๆ \Delta t จะได้ \Delta s_x=v_x\Delta t ซึ่งเป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าใต้กราฟ เมื่อนำแต่ละส่วนมารวมกันจะได้พื้นที่แบบมีเครื่องหมายใต้ v_x(t) เหนือแกนเป็นบวก ใต้แกนเป็นลบ ดังนั้น s_x=x-x_0 ในหน่วยเมตรอาจเป็นศูนย์แม้เคลื่อนที่แล้ว เพราะส่วนก่อนและหลังกลับทิศหักล้างกัน

เมื่อความเร่งคงตัว กราฟ v_x(t) เป็นเส้นตรง เพราะเวลาเท่ากันให้การเปลี่ยนความเร็วเท่ากัน พื้นที่ใต้กราฟคือ s_x=(v_{0x}+v_x)t/2 การเฉลี่ยองค์ประกอบที่ปลายทั้งสองใช้ได้เพราะความเร็วเปลี่ยนแบบเส้นตรง หากความเร็วผ่านศูนย์ สูตรยังคงให้การกระจัดแบบมีเครื่องหมาย แต่การหาระยะทางต้องรวมขนาดพื้นที่ทั้งสองด้านของแกนเวลา

แบ่งพื้นที่ใต้เส้นตรงเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าจากความเร็วเริ่มต้นและสามเหลี่ยมจากการเปลี่ยนความเร็ว ได้ s_x=v_{0x}t+a_xt^2/2 พจน์ที่สองมี t คูณสองครั้ง เพราะเร่งนานขึ้นและความเร็วที่สะสมเพิ่มขึ้นด้วย เมื่อเริ่มจากหยุดนิ่ง การเพิ่มเวลาเป็นสองเท่าจึงทำให้การกระจัดเป็นสี่เท่า เมื่อ a_x=0 เหลือ v_{0x}t และเมื่อ t=0 ยังไม่มีการกระจัด ความเร่งต้องคงตัวตลอดช่วงเวลา

บางครั้งทราบความเร็วเริ่มต้นและสุดท้ายแต่ไม่ทราบเวลา กำจัดเวลาออกจากความสัมพันธ์ของความเร็วและการกระจัด ได้ v_x^2-v_{0x}^2=2a_xs_x เมื่อเบรกขณะเคลื่อนที่ขวา a_x<0 และ s_x>0 กำลังสองของความเร็วสุดท้ายจึงน้อยกว่าค่าเริ่มต้น สอดคล้องกับเหตุการณ์ หากเบรกจนหยุดด้วยขนาดความเร่งเท่าเดิม การเพิ่มอัตราเร็วเริ่มต้นเป็นสองเท่าทำให้ระยะทางเป็นสี่เท่า แต่ค่ากำลังสองไม่เก็บข้อมูลทิศทางของความเร็วสุดท้าย

นึกถึงลูกบอลที่ขึ้นไป 5 m แล้วกลับถึงจุดโยน การกระจัดเป็นศูนย์ แต่ระยะทางเป็น 10 m เมื่อมีการกลับทิศ ให้หาเวลาที่ v_x=0 ก่อน แบ่งการเคลื่อนที่ แล้วรวมขนาดการกระจัดของแต่ละช่วง การหาระยะทางต้องรวมขนาดพื้นที่ทั้งสองด้านของแกนเวลา นี่อธิบายลำดับ 1:3:5:\ldots เมื่อเร่งจากหยุดนิ่ง เพราะระยะทางสะสมแปรตาม 1^2,2^2,3^2,\ldots ส่วนระยะทางแต่ละช่วงเป็นผลต่างของค่าเหล่านี้

รถยนต์เบรกด้วยความเร่งคงตัวจาก 20 m/s จนหยุดใน 8 s จงหาความเร่งและระยะเบรก

กำหนดแกนตามความเร็วเริ่มต้น: v₀x=20 м/с, vx=0.

ความเร่ง ax=(0−20)/8=−2,5 м/с² เครื่องหมายลบหมายถึงทิศตรงข้ามกับแกน

ก่อนหยุดยังไม่เปลี่ยนทิศ อัตราเร็วเฉลี่ย (20+0)/2=10 м/с.

ระยะทาง S=10×8=80 м หากคงอัตราเร็วเดิมจะได้ 160 m แต่เมื่อเบรก ระยะทางน้อยกว่า

องค์ประกอบความเร่งเท่ากับ −2.5 m/s² มีขนาด 2.5 m/s² และระยะเบรก 80 m แต่ละวินาทีอัตราเร็วลดลง 2.5 m/s อัตราเร็วเฉลี่ยขณะเบรกเป็นครึ่งหนึ่งของค่าเริ่มต้น ระยะทางจึงเป็นครึ่งหนึ่งของ 160 m ที่จะได้หากคงอัตราเร็วเดิม

ความเร่งบอกว่าความเร็วเปลี่ยนอย่างไร เครื่องหมายบอกทิศของการเปลี่ยน แต่การตัดสินว่าช้าลงหรือไม่ต้องทราบเครื่องหมายความเร็วด้วย

สูตรความเร่งคงตัวอธิบายการสะสมการเปลี่ยนความเร็วและพื้นที่ใต้กราฟความเร็ว พจน์ t² เกิดจากทั้งสองกระบวนการ

เมื่อกลับทิศ การกระจัดตรงข้ามกันนำมาหักลบ แต่ระยะทางนำมาบวก หลังวัตถุหยุดต้องตรวจสอบแบบจำลองการเบรกอีกครั้ง

ต่อไปจะใช้ความเร่งกับการตกและการเปลี่ยนทิศความเร็ว