Равноускоренное движение

Велосипед каждую секунду прибавляет одинаковую скорость. Почему за вторую секунду он проезжает больше, чем за первую, а удвоение времени разгона может увеличить путь вчетверо? Проследим, как накапливается изменение скорости.

Снимем показания скорости через равные интервалы: 2, 4, 6, 8 м/с. Здесь одинаково не расстояние за секунду, а прибавка скорости — 2 м/с. Если за любые равные промежутки вектор скорости меняется одинаково, ускорение постоянно; движение называют равноускоренным. Это модель: настоящий велосипедист может толкать педали неравномерно. Применять её ко всему участку можно лишь тогда, когда изменение ускорения допустимо не учитывать.

Чтобы сравнить быстроту разгона, делим изменение проекции скорости на время: a_x=(v_x-v_{0x})/t. Для постоянного ускорения это его значение, для произвольного движения — среднее на интервале. Единица м/с² означает изменение скорости на столько м/с за секунду. Если ту же прибавку получить за вдвое меньшее время, ускорение вдвое больше. При неизменной скорости числитель нулевой, значит, на прямой ускорения нет.

Выберем ось вправо. Тогда a_x<0 означает, что изменение скорости направлено влево. Если тело едет вправо, такая прибавка уменьшает модуль скорости; если уже едет влево, увеличивает. Например, переход от −2 к −4 м/с — разгон, хотя ускорение отрицательно. Поэтому слова «минус» и «торможение» нельзя отождествлять. Для вывода о разгоне сравниваем направления скорости и ускорения.

Сколько скорости накопится за t секунд постоянного ускорения? За каждую секунду прибавляется одно и то же, поэтому изменение равно a_xt. Добавляя его к начальной проекции, получаем v_x=v_{0x}+a_xt, где при t=0 скорость равна v_{0x}. Удвоение времени удваивает прибавку, но не обязательно всю скорость. При a_x=0 остаётся прежняя скорость — формула включает равномерное движение как частный случай.

Пусть тело движется вправо, а ускорение всё время направлено влево. Сначала скорость уменьшается до нуля. Но нулевая скорость не выключает ускорение: следующая прибавка делает проекцию отрицательной, и тело движется влево. Именно так ведёт себя брошенный вверх мяч под действием тяжести. Для тормозящего автомобиля после остановки модель обычно меняется; продолжать прежнее ускорение автоматически нельзя.

Как из скорости узнать перемещение? При постоянной скорости за короткое время \Delta t получаем \Delta s_x=v_x\Delta t — площадь прямоугольника под графиком. Складывая такие участки, получаем знаковую площадь под v_x(t). Выше оси она положительна, ниже — отрицательна. Поэтому s_x=x-x_0 в метрах может быть нулём даже после движения: вклады до и после разворота компенсируются.

При постоянном ускорении график v_x(t) — прямая: одинаковые времена дают одинаковые изменения скорости. Площадь под ней равна s_x=(v_{0x}+v_x)t/2. Среднее двух крайних проекций подходит именно из-за линейного изменения. Если скорость пересекает ноль, формула по-прежнему даёт знаковое перемещение. Для пути пришлось бы сложить модули площадей по обе стороны оси времени.

Разделим площадь под прямой на прямоугольник начальной скорости и треугольник её изменения. Получаем s_x=v_{0x}t+a_xt^2/2. Вторая часть содержит t дважды: разгон длится дольше и накопленная скорость становится больше. Поэтому при старте из покоя удвоение времени увеличивает перемещение вчетверо. При a_x=0 остаётся v_{0x}t; при t=0 перемещения ещё нет. Ускорение на всём интервале должно быть постоянным.

Иногда известны начальная и конечная скорости, но нет времени. Исключим его из связей скорости и перемещения: v_x^2-v_{0x}^2=2a_xs_x. Для торможения вправо a_x<0 и s_x>0, поэтому квадрат конечной скорости меньше начального — знаки согласуются с картиной. Если тормозить до остановки с тем же модулем ускорения, удвоение начальной скорости увеличит расстояние вчетверо. Квадраты не сохраняют сведения о направлении конечной скорости.

Представь мяч, поднявшийся на 5 м и вернувшийся к месту броска. Его перемещение равно нулю, путь — 10 м. Поэтому при развороте сначала находим момент v_x=0, разделяем движение и складываем модули перемещений участков. При подсчёте пути площади под графиком скорости по обе стороны оси времени складывают по модулю. Это объясняет последовательность 1:3:5:\ldots при разгоне из покоя: накопленные расстояния пропорциональны 1^2,2^2,3^2,\ldots, а пути за отдельные интервалы — их разности.

Автомобиль равномерно тормозит с 20 м/с до остановки за 8 с. Найдите ускорение и тормозной путь.

Ось направим по начальной скорости: v₀x=20 м/с, vx=0.

Ускорение ax=(0−20)/8=−2,5 м/с². Минус означает направление против оси.

До остановки направление не меняется. Средняя скорость (20+0)/2=10 м/с.

Путь S=10×8=80 м. При прежней скорости получилось бы 160 м; при торможении путь меньше.

Проекция ускорения −2,5 м/с², модуль — 2,5 м/с²; тормозной путь 80 м. Каждую секунду скорость уменьшается на 2,5 м/с; средняя за торможение вдвое меньше начальной, поэтому путь вдвое меньше 160 м при прежней скорости.

Ускорение сообщает, как меняется скорость. Его знак задаёт направление изменения, а для вывода о торможении нужен ещё знак скорости.

Формулы постоянного ускорения описывают накопление скорости и площади под её графиком; член t² возникает из обоих процессов.

После разворота противоположные перемещения вычитаются, а пути складываются. Модель торможения нужно заново проверить после остановки.

Далее применим ускорение к падению и повороту скорости.