9 КЛАСС · КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ
Динамика окружности и спутники
Центростремительная сила и первая космическая скорость.
Здесь собрана теория урока целиком, её можно читать без аккаунта. В интерактивном режиме та же теория идёт карточками, после неё идут вопросы с проверкой ответа и задачи, а прогресс сохраняется.
Разбираемся по шагам
Если тяготение всё время тянет спутник вниз, почему он не падает на землю? И почему космонавт внутри почти не давит на пол, хотя спутник явно находится под действием Земли?
Кто поворачивает тело
Вспомним поворот: скорость направлена по касательной, а её изменение — к центру. Теперь спросим, какое взаимодействие создаёт это ускорение. Для спутника это тяготение, для груза на нити натяжение, для машины на плоской дороге трение. Во всех случаях важна направленная к центру составляющая суммы реальных сил. Если её не хватает при данных скорости и радиусе, заданный круговой путь не сохранится.
Не добавляй лишнюю силу
Нарисуем спутник и одну стрелку притяжения к Земле. Нужно ли добавлять «центростремительную силу»? Нет: это название роли уже нарисованной равнодействующей при равномерном круговом движении, а не новый участник взаимодействия. Две одинаковые стрелки означали бы двойной учёт тяготения. Полезная проверка любой схемы: можно ли назвать тело или поле, которое создаёт каждую указанную силу?
От ускорения к силе
Из кинематики знаем нужное ускорение aₙ = v²/r. По второму закону требуемая радиальная сила Fₙ = maₙ = mv²/r. Масса m в килограммах, v в м/с, r в метрах дают силу в ньютонах. При удвоении массы нужна удвоенная сила, при удвоении скорости — учетверённая. Более широкий поворот при той же скорости требует меньшей силы. Название силы меняется от задачи к задаче, эта зависимость остаётся.
Постоянное падение
Представь бросок горизонтально с большой высоты без воздуха. Пока тело летит вперёд, тяжесть отклоняет его вниз. У Земли поверхность тоже уходит вниз из-за кривизны. При подходящей касательной скорости и достаточной высоте тело всё время промахивается мимо поверхности: свободное падение продолжается по орбите. Сила не «держит спутник неподвижно наверху»; она постоянно поворачивает его скорость.
Почему космонавт невесом
Теперь отпустим предмет внутри спутника. Он и сам спутник получают почти одинаковое ускорение от Земли, поэтому предмет не должен опираться на пол, чтобы двигаться вместе с кораблём. Контактная сила и вес почти нулевые: возникает невесомость. Это тот же принцип, что в падающем лифте. Гравитация на орбите остаётся значительной; небольшие различия поля и другие воздействия объясняют слово «почти».
Скорость у поверхности
Для идеальной круговой орбиты у поверхности требуемое ускорение v₁²/R должно совпасть с g. Отсюда v₁ = √(gR): первая космическая скорость. R — радиус планеты, g — ускорение у её поверхности. Масса спутника сокращается, потому что тяготение и инертность растут с ней одинаково. При независимом удвоении g или R формула даёт рост скорости в √2 раза; на разных планетах сами g и R связаны распределением массы.
Граница модели
Для Земли получается v₁ ≈ 7,9 км/с. Реальный аппарат не может облетать планету у самой поверхности с такой скоростью: мешают атмосфера и рельеф. Модель считает планету сферической, не учитывает её вращение и сопротивление воздуха. На более высокой круговой орбите берут расстояние от центра вместо R и местное ускорение тяготения вместо поверхностного g. Подставлять туда одну только высоту над землёй нельзя.
Разные спутники
Два спутника массами 100 и 200 кг движутся по одной круговой орбите с одинаковой скоростью. Сравните ускорения и силы тяготения.
Разбираем пример · 1
По условию радиус орбиты и скорость одинаковы. Поэтому aₙ = v²/r у спутников 100 и 200 кг одинаково: их векторы скорости поворачиваются одинаково быстро.
Разбираем пример · 2
Чтобы сообщить одно ускорение вдвое большей массе, нужна вдвое большая сила: F₂/F₁ = m₂/m₁ = 200/100 = 2.
Разбираем пример · 3
Тяготение Земли пропорционально массе спутника и обеспечивает именно это отношение. Масса одновременно увеличивает силу и инертность, поэтому ускорение не меняется.
Проверим результат
Модули ускорений спутников равны; в каждой точке ускорение направлено к центру Земли. На спутник массой 200 кг действует вдвое большая сила тяготения, чем на спутник массой 100 кг.
Главное · 1
Центростремительная сила — требуемая роль суммы реальных сил; отдельного нового взаимодействия нет.
Главное · 2
Спутник непрерывно падает, а совместное падение корабля и космонавта объясняет невесомость.
Главное · 3
v₁ = √(gR) относится к идеальной круговой орбите у поверхности; для другой высоты нужно другое расстояние и поле.
Куда пойдём дальше
Для неподвижных протяжённых тел понадобится учесть ещё и поворот сил.
Основные понятия
Центростремительная сила
Так называют равнодействующую сил, направленную к центру и создающую центростремительное ускорение.
Это не новая особая сила: её роль могут выполнять тяготение, натяжение, трение или их сумма.
Искусственный спутник
Тело движется по орбите, когда гравитация непрерывно сообщает ему ускорение к центру планеты.
Спутник находится в длительном свободном падении и всё время промахивается мимо поверхности из-за горизонтальной скорости.
Первая космическая скорость
Минимальная скорость круговой орбиты у поверхности планеты без учёта атмосферы и вращения.
Для Земли значение близко к 7,9 км/с и получается из равенства гравитационного и центростремительного ускорений.
Физические величины
Центростремительная сила
F_nРавнодействующая сил, направленная к центру окружности.
Единица: ньютон · \mathrm{Н}
Первая космическая скорость
v_1Скорость круговой орбиты у поверхности планеты.
Единица: метр в секунду · \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}
Формулы урока
Центростремительная сила
F_n=m\frac{v^2}{r}Равнодействующая к центру равна массе, умноженной на квадрат скорости и делённой на радиус.
Первая космическая скорость
v_1=\sqrt{gR}Скорость круговой орбиты у поверхности равна квадратному корню из произведения g на радиус планеты.
Проверьте зависимость
Сначала сделайте прогноз. Кнопка изменит указанную величину; затем сравните результат и исследуйте другие значения.
Равномерное движение по окружности
ω = v/R; x = R cos(ωt); y = R sin(ωt); a = v²/R; T = 2πR/v (v > 0)
Материальная точка движется против часовой стрелки по окружности с постоянным модулем скорости; при t = 0 она в точке (R, 0). Стрелки показывают направления, их длины условны. Это кинематическая модель: источник силы не задан. При v = 0 точка покоится, период не определяется.
При R = 2 м модуль скорости увеличили с 2 до 4 м/с. Как изменится модуль ускорения?
Исходные значения
Результат расчёта
- |v|
- 2 м/с
- a
- 2 м/с²
- T
- 6,283 с
- vₓ
- 0 м/с
- vᵧ
- 2 м/с
Объяснение результата
При удвоении v модуль ускорения увеличивается в четыре раза: с 2 до 8 м/с². При неизменном v удвоение R вдвое уменьшает a. Скорость направлена по касательной, ускорение — к центру и перпендикулярно скорости. Графики vₓ и vᵧ меняются, но √(vₓ² + vᵧ²) = v постоянно. На круговой орбите такое ускорение должно обеспечиваться реальной равнодействующей силой.
Связанные формулы
Те же формулы в справочнике, с обозначениями и единицами.
Задачи по теме
Условия, варианты ответа и разбор решения.