Электромагнитные колебания и переменный ток

Соединим заряженный конденсатор с катушкой. Когда заряд уменьшится до нуля, разряд не остановится: ток продолжит перезаряжать обкладки. Что в этой системе играет роль инерции и куда на время уходит электрическая энергия?

При замыкании идеального контура конденсатор создаёт ток через катушку. Его заряд уменьшается, ток растёт: энергия электрического поля переходит в магнитное. При q=0 ток максимален. Самоиндукция препятствует его мгновенному исчезновению, поэтому ток продолжает переносить заряд и заряжает конденсатор с противоположным знаком. Подобно грузу, проходящему равновесие, система проходит состояние нулевого q, не прекращая обмена энергией.

Чтобы следить за этим циклом, q обозначает заряд выбранной обкладки со знаком; qₘ — его максимальный модуль, оба в кулонах. I и Iₘ — ток и амплитуда в амперах, C — ёмкость в фарадах, L — индуктивность в генри. Индекс m означает максимум, а не массу. Выбор другой обкладки меняет знак q, но не энергию и не qₘ. Знаки тока и изменения заряда согласуют с выбранным направлением обхода.

Большая ёмкость позволяет перенести больший заряд при том же напряжении, а большая индуктивность сильнее препятствует изменению тока. Обмен идёт медленнее: формула Томсона T=2\pi\sqrt{LC} даёт период в секундах. Увеличение L или C вчетверо удваивает T. Это собственные колебания замкнутого идеального контура с постоянными L и C, без сопротивления и источника. Реальные потери требуют другой, затухающей модели.

В идеальном случае заряд меняется гармонически: q=q_m\sin(\omega t+\varphi_0), где ω=2π/T в рад/с, φ₀ в радианах. Ток связан со скоростью изменения заряда. В крайнем значении q график на миг горизонтален, и I=0. При q=0 график наиболее крут, поэтому модуль тока максимален. Так форма зависимости показывает, почему максимумы заряда и тока не могут совпасть по времени.

Если тот же заряд переносится за более короткую часть цикла, ток должен быть больше. Количественно I_m=q_m\omega. При удвоении qₘ и прежней частоте Iₘ удвоится; при удвоении ω и прежнем qₘ тоже удвоится. Максимум |I| наступает при q=0 и отделён от максимума |q| четвертью периода. Единицы Кл·с⁻¹ дают амперы, а возможный знак между I и dq/dt зависит от выбранных направлений.

В момент максимального заряда ток нулевой и весь запас находится в электрическом поле конденсатора. Поэтому W_0=q_m^2/(2C)=CU_m^2/2, где Uₘ=qₘ/C — амплитуда напряжения в вольтах, W₀ в джоулях. Удвоение qₘ при фиксированном C учетверяет энергию. При сравнении разных C надо указать, что оставляем постоянным — заряд или напряжение: две равные записи не дают противоречащих прогнозов, они отвечают разным условиям.

Через четверть цикла q=0, электрический запас исчез, а магнитный максимален: W_0=LI_m^2/2. В промежуточный момент W_0=q^2/(2C)+LI^2/2 с текущими q и I. Это один и тот же запас в двух формах, поэтому складывать их максимумы нельзя. Удвоение Iₘ при прежнем L увеличивает полный запас вчетверо. При наличии сопротивления часть энергии каждого цикла переходит в нагрев проводников.

Переменный ток периодически меняет величину и направление. Амплитуды Iₘ, Uₘ и εmax означают максимальные модули тока, напряжения и ЭДС; последние две величины измеряют в вольтах. В реальном свободном контуре сопротивление уменьшает запас энергии и амплитуду. Внешний периодический источник может компенсировать потери и поддерживать вынужденные колебания. Периодическое движение при этом не означает отсутствия энергетических затрат.

Среднее значение синусоидального тока со знаком за период равно нулю. Почему же резистор нагревается? Мощность нагрева зависит от I² и остаётся положительной при обоих направлениях. Действующее значение даёт тот же средний нагрев, что равный постоянный ток: для синусоиды I_{\text{д}}=I_m/\sqrt2, U_{\text{д}}=U_m/\sqrt2. Это среднеквадратичная мера, а не среднее со знаком; для другой формы волны коэффициент √2 не универсален.

При более быстром изменении тока катушка создаёт большую ЭДС самоиндукции. Поэтому её индуктивное сопротивление синусоидальному току X_L=2\pi\nu L растёт с частотой ν в герцах и индуктивностью L. X_L измеряют в омах. При ν→0 идеальная катушка перестаёт препятствовать установившемуся постоянному току. Это реактивное сопротивление: энергия временно запасается и возвращается, а идеальная катушка сама не превращает её в теплоту.

Конденсатор ведёт себя иначе. При более частой смене напряжения обкладки чаще перезаряжаются, и при той же амплитуде напряжения ток больше: X_C=1/(2\pi\nu C) в омах. Удвоение частоты или C уменьшает X_C вдвое. В пределе постоянного напряжения установившегося тока через идеальный конденсатор нет. Ток и напряжение сдвинуты по фазе, поэтому X_L и X_C нельзя безусловно складывать как два обычных сопротивления нагрева.

В трансформаторе две обмотки связаны общим меняющимся магнитным потоком. Переменный ток первичной создаёт поток сердечника, изменение которого вызывает ЭДС во вторичной. Провода обмоток не обязаны соединяться электрически: энергию передаёт поле. Установившийся постоянный ток не даёт непрерывной индукции во вторичной обмотке. Изменение при включении может вызвать краткий отклик, но это не постоянное преобразование напряжения.

Один общий поток создаёт одинаковую ЭДС на виток идеальных обмоток. Поэтому U_1/U_2=n_1/n_2, где n₁ и n₂ — безразмерные числа витков, U₁ и U₂ — действующие напряжения в вольтах. Вдвое больше вторичных витков при прежнем входном напряжении даёт вдвое большее выходное. Формула описывает идеальную магнитную связь и отсутствие потерь; сама по себе она ещё не определяет ток без сведений о нагрузке.

Откуда взять дополнительную энергию при повышении напряжения? Идеальный трансформатор её не создаёт. При активной нагрузке U_1I_1=U_2I_2, поэтому U_1/U_2=I_2/I_1. I₁ и I₂ — действующие токи в амперах; потерями и током холостого хода пренебрегают. При передаче той же мощности повышение напряжения втрое означает втрое меньший ток. Для нагрузки со сдвигом фаз простой расчёт активной мощности требует дополнения.

Идеальный трансформатор имеет 200 витков в первичной обмотке и 50 во вторичной. На входе 240 В; ток активной нагрузки на выходе 2 А. Найдите выходное напряжение и входной ток.

Во вторичной обмотке 50 витков вместо 200, то есть в четыре раза меньше. Общий поток создаёт одинаковую ЭДС на виток, поэтому выходное напряжение вчетверо меньше.

U₂ = U₁n₂/n₁ = 240 × 50/200 = 60 В. Все напряжения в задаче — действующие.

Активная нагрузка получает P₂ = U₂I₂ = 60 × 2 = 120 Вт. В идеальной модели эта же мощность приходит на вход.

I₁ = P₁/U₁ = 120/240 = 0,5 А. Проверка: 240 × 0,5 = 60 × 2 = 120 Вт; меньшее выходное напряжение сопровождается большим током.

U₂ = 60 В, I₁ = 0,5 А. Трансформатор понижает напряжение вчетверо и передаёт нагрузке 120 Вт без потерь в принятой модели.

Самоиндукция позволяет току продолжить перезарядку конденсатора; электрический и магнитный запасы поочерёдно достигают максимума.

Действующее значение связано с нагревом и отличается от амплитуды и среднего тока со знаком.

Трансформатор использует меняющийся поток и обменивает величины напряжения и тока при сохранении мощности в идеальной модели.

Далее рассмотрим распространение колебаний в пространстве.