Волны

Поплавок качается почти на месте, а гребень уходит вдаль. Затем отражённая волна возвращается к нам. Как описать скорость рисунка, задержку между колебаниями и расстояние до того места, где произошло отражение?

В механической волне соседние участки среды передают друг другу возмущение. В простой модели они колеблются около своих положений, а энергия распространяется дальше. Скорость волны v описывает движение фазы, например гребня, и отличается от скорости отдельной частицы. Поплавок может на мгновение остановиться у верхней точки, пока гребень продолжает движение. У реальной поверхностной волны возможны дополнительные смещения воды; простая модель выделяет основной колебательный перенос.

Сделаем снимок периодической волны. Длина λ — расстояние вдоль распространения между ближайшими точками одинаковой фазы. За период T гребень перемещается к месту следующего, то есть проходит λ: v=\lambda/T=\lambda\nu. λ в метрах, T в секундах, ν в герцах дают v в м/с. Период — повтор во времени для одной точки, длина — повтор в пространстве в один момент; смешивать эти два измерения нельзя.

Пусть источник начинает колебаться вдвое чаще, а скорость остаётся прежней. Гребни появляются чаще, но уходят с той же скоростью, значит промежутки между ними сжимаются: \lambda=v/\nu уменьшается вдвое. Это вывод при фиксированном v. В средах с дисперсией сама скорость зависит от частоты; тогда изменение λ нельзя определить только прежним правилом. Связь v=λν сохраняется, но условия сравнения должны быть полными.

Свет переносит колебания электрического и магнитного полей и может идти без материальной среды. В вакууме c\approx3\cdot10^8\,\text{м/с} и c=\lambda\nu. Более высокая частота соответствует меньшей длине при той же скорости. В веществе подставляют скорость света именно в веществе: использование c там дало бы вакуумную длину волны. Различие среды особенно важно при дальнейшем разборе преломления.

Две точки могут иметь одинаковый период, но проходить вершину в разные моменты. Это различие описывает разность фаз Δφ в радианах. Изменение на 2π соответствует полному циклу: состояния снова совпадают; сдвиг π даёт противоположные состояния, например гребень и впадину. Совпадение бывает также при нулевом сдвиге и любом целом числе 2π. Фаза сравнивает не только координаты, но и ход колебания внутри цикла.

Две согласованные волны пришли в точку по путям разной длины. Более длинный путь задерживает приход той же фазы. Каждая добавочная λ соответствует полному циклу, поэтому вклад разности хода d в фазовый сдвиг \Delta\varphi=2\pi d/\lambda. d измеряют в метрах, отношение d/λ безразмерно. При удвоении d сдвиг удвоится; при d=λ состояния опять совпадут по фазе, хотя один путь действительно длиннее.

Для этой записи сравниваются волны одной частоты в одной среде, начавшие с одинаковой фазы; знак сдвига зависит от порядка вычитания путей. При d=λ/2 модуль сдвига равен π. Если источники изначально имели сдвиг фаз, его добавляют с согласованным знаком; разные среды требуют учесть разное накопление фазы. Поэтому одинаковая геометрическая длина двух путей не всегда означает одинаковую фазу пришедших сигналов.

Радиолокатор отправляет импульс и засекает время t до отражённого сигнала. Если передатчик и приёмник рядом, неподвижная цель находится на расстоянии S, а сигнал проходит примерно 2S. Отсюда S=ct/2, S в метрах, t в секундах; в воздухе скорость приближённо равна c. Удвоение задержки удваивает найденное расстояние. Деление на два относится к геометрии маршрута, а не к потере скорости при отражении.

Для звукового эха та же геометрия даёт S=vt/2, но v теперь скорость звука в данной среде. Подмена её скоростью света изменила бы ответ на много порядков. Если прибор добавляет известную задержку, сначала вычитают её из общего времени, чтобы оставить время распространения. При разнесённых источнике и приёмнике или движущейся цели прямое деление пополам требует дополнительной проверки маршрута.

Звук вернулся эхом через 0,40 с после короткого сигнала. Скорость звука 340 м/с. Найдите расстояние до неподвижной стены.

Сигнал проходит путь к неподвижной стене и обратно к находящемуся рядом слушателю. Время 0,40 с относится к обоим участкам вместе.

Полный путь vt = 340 × 0,40 = 136 м.

Одностороннее расстояние r = vt/2 = 136/2 = 68 м.

Проверка: 68/340 = 0,20 с в одну сторону, поэтому возвращение занимает 0,40 с. Скорость после отражения в той же среде не делится пополам.

r = 68 м до стены. За 0,40 с звук прошёл 136 м по маршруту туда и обратно.

Волна переносит возмущение, поэтому движение гребня и отдельной частицы описывают разными скоростями.

v=λν связывает пространственный и временной повтор, а дополнительный путь меняет фазу.

Время отражённого сигнала относится ко всему маршруту; расстояние до неподвижной цели в простой схеме вдвое меньше пути.

Далее изучим изменение направления световых лучей на границе сред.