Механические колебания

Груз на пружине у края на мгновение остановился, но именно там начинает быстрее всего менять скорость. В середине всё наоборот. Свяжем эту смену ролей с фазой движения, силой и обменом энергией.

Отпустим смещённый груз: пружина возвращает его к равновесию, а инерция уносит через середину на другую сторону. Состояния повторяются — это колебания. Полный цикл возвращает не только прежнюю координату, но и направление движения. Если начать отсчёт при проходе середины вправо, следующий проход влево завершит лишь половину цикла. Одной фотографии положения недостаточно, чтобы узнать место внутри повторения.

Засечём t секунд для n полных циклов. Время одного цикла T=t/n, число циклов за секунду \nu=n/t=1/T. T измеряют в секундах, ν в герцах: 1 Гц=1 с⁻¹. Удвоение частоты уменьшает период вдвое. Измерение нескольких циклов уменьшает относительный вклад ошибки запуска секундомера, но не исправит неверный счёт полных повторений. n здесь число циклов, а не число витков из предыдущего урока.

Пусть равновесие принято за x=0. Текущее смещение x имеет знак, показывающий сторону отклонения. Амплитуда xₘ — максимальный модуль смещения, то есть половина расстояния между крайними точками; обе величины в метрах. Удвоенная амплитуда удваивает полный размах. Отрицательное x не означает отрицательной амплитуды, а нулевая средняя координата не означает отсутствия движения.

Чтобы указать, какая часть цикла идёт сейчас, вводят фазу. Полному повторению соответствует 2π радиан; начальная фаза φ₀ задаёт состояние при t=0. При равномерном ходе фазы её прирост за секунду \omega=2\pi\nu=2\pi/T в рад/с. Удвоение ω позволяет пройти полный цикл за вдвое меньшее время. Частота в герцах и циклическая частота описывают один ритм, но их численные значения отличаются в 2π раз.

Для идеальной линейной возвращающей силы движение описывает x=x_m\sin(\omega t+\varphi_0). Это гармоническое колебание с постоянными амплитудой и частотой. Синус ограничен от −1 до +1, значит x остаётся между −xₘ и +xₘ. Изменение xₘ растягивает график по вертикали, ω — по времени, φ₀ сдвигает начало цикла. Аргумент задаётся в радианах; при φ₀=0 груз начинает проход равновесия в положительном направлении.

Пружина действует тем сильнее, чем больше отклонение, а масса сопротивляется изменению скорости. Для идеальной невесомой пружины по закону Гука без потерь T=2\pi\sqrt{m/k}, где m в кг, k в Н/м. Четырёхкратная масса удвоит период, четырёхкратная жёсткость уменьшит его вдвое. Амплитуда не входит в результат, пока сохраняется линейность силы; при слишком сильной деформации эта независимость не гарантирована.

У математического маятника возвращающее действие создаёт тяжесть. Для материальной точки на лёгкой нерастяжимой нити при малых углах T=2\pi\sqrt{l/g}. Длина l в метрах идёт от подвеса до центра груза, g в м/с². Более длинный маятник колеблется медленнее, большее g ускоряет возврат. Масса сокращается, поскольку тяжесть и инертность растут вместе. Большие углы и сопротивление воздуха выходят за условия этой формулы.

Почему в середине быстрее всего? К этому месту возвращающая сила уже разогнала груз, а ещё не начала тормозить его движение к другому краю. Для гармонического закона амплитуда скорости v_m=x_m\omega в м/с. При том же размахе удвоение частоты требует пройти его вдвое быстрее, поэтому vₘ удвоится. У краёв скорость нулевая, хотя груз не остаётся там: сила начинает движение обратно.

В идеальном осцилляторе сила направлена против смещения, поэтому a=-\omega^2x, а максимальный модуль a_m=x_m\omega^2. При удвоении ω и прежней амплитуде ускорение возрастает вчетверо; единица — м/с². У краёв |x| и |a| максимальны, но скорость нулевая. В равновесии a=0 при максимальной скорости. Нулевая скорость и нулевое ускорение — разные состояния, их нельзя определять друг по другу.

В идеальной пружинной системе полная энергия постоянна: E_0=mv_m^2/2=kx_m^2/2 в джоулях. У края весь запас потенциальный, в равновесии — кинетический. Поэтому равенство сравнивает максимумы, достигнутые в разные моменты, а не сумму двух одновременно максимальных энергий. Удвоение амплитуды увеличивает общий запас вчетверо. Без потерь один и тот же запас многократно меняет форму.

Возьмём фотографию в промежуточном положении: пружина ещё деформирована, и груз уже движется. Сейчас E_0=mv^2/2+kx^2/2, где v и x относятся к одному моменту. Эта сумма не меняется в идеальной модели. При трении часть механической энергии становится внутренней, и доступный механический запас, а с ним амплитуда, уменьшается. Сложение максимальных энергий ошибочно удвоило бы начальный запас.

Груз на идеальной горизонтальной пружине жёсткостью 100 Н/м колеблется с амплитудой 0,10 м. Найдите полную энергию и кинетическую энергию в равновесии.

Удобнее всего рассмотреть крайнее положение: скорость там нулевая, поэтому полная энергия равна запасу пружины при xₘ = 0,10 м.

E₀ = kxₘ²/2 = 100 × 0,10²/2 = 0,50 Дж.

В равновесии x = 0, горизонтальная пружина недеформирована и её потенциальная энергия нулевая. Значит, Eк = E₀ = 0,50 Дж.

Эти два значения не складываются: они описывают один запас энергии в разных формах в разные моменты цикла.

Полная энергия E = 0,50 Дж. В равновесии весь этот запас кинетический: Eк = 0,50 Дж.

Колебание повторяет полное состояние; проход одной координаты в обратном направлении — ещё не полный цикл.

Фаза, амплитуда и частота задают разные стороны гармонического движения.

Скорость максимальна в середине, ускорение — у краёв; постоянный запас энергии переходит между движением и деформацией.

Далее найдём похожий обмен энергией в электрической цепи.