Гидростатическое давление и сосуды

У поверхности воды и у дна бассейна давление различается. Как получить эту разницу из уже знакомых массы, тяжести и площади? Для начала выделим в воде воображаемый вертикальный столбик.

Глубже расположенный слой должен удерживать от падения больше жидкости над ним. Поэтому в покоящейся жидкости давление увеличивается вниз. Глубина h — вертикальное расстояние от свободной поверхности до рассматриваемой точки, единица — метр. Длина наклонного пути к точке для этого не нужна. Если двигаться вбок, оставаясь на той же глубине в одной связной однородной жидкости, давление не меняется: иначе появилась бы причина для перетекания.

У воображаемого вертикального столбика высотой h и площадью S объём Sh, масса ρSh, а тяжесть ρShg. Нижний слой должен поддерживать эту тяжесть сверх действия сверху. Делим её на площадь: pж = ρShg/S = ρgh. Площадь сокращается, потому что расширение столбика одновременно увеличивает его массу и площадь опоры. Формула pж = ρgh даёт прибавку давления, создаваемую столбом жидкости, а не всё давление в точке.

Удвоим глубину при прежней плотности — над точкой окажется вдвое более высокий столб и прибавка давления удвоится. При той же глубине более плотная жидкость даёт большую прибавку; при h = 0 она исчезает. В расчёте ρ задаём в кг/м³, g — в Н/кг, h — в м: произведение имеет единицу Н/м² = Па. Мы считаем жидкость однородной, покоящейся и почти несжимаемой, а g — практически постоянным на рассматриваемой высоте.

При h = 0 формула ρgh даёт ноль. Но на открытую поверхность всё ещё давит воздух. Поэтому полное давление p = p₀ + ρgh, где p₀ — давление над поверхностью. При удвоении глубины удваивается только прибавка ρgh, а не обязательно вся сумма. Для одинаковых p₀, ρ и глубины давление не зависит от формы сосуда. Узкая горловина не отменяет давление внизу; наклонные стенки также участвуют в передаче сил.

Соединим два сосуда ниже поверхностей одной жидкости. Если уровни различаются, то у соединения с более высокой стороны столб создаёт большее давление: жидкость перетекает, пока разность не исчезнет. При одинаковом давлении сверху равновесие требует одинаковых уровней, даже если сосуды разной ширины. Ширина меняет объём воды, нужный для подъёма уровня, но не зависимость ρgh. Здесь не учитываем капиллярные эффекты в очень узких трубках; разные давления сверху могут удержать разные уровни.

В U-образной трубке приложим с одной стороны давление больше, чем с другой. Уровень там опустится, а на другой стороне поднимется. Перетекание остановится, когда вертикальная разность уровней Δh создаст нужную разность давления: Δp = ρgΔh для жидкости манометра. При равных давлениях уровни совпадают. Такой жидкостный манометр сравнивает два давления; если одна сторона открыта воздуху, показание означает превышение над атмосферным, а не полное давление.

Найдите давление столба воды на глубине 3 м: ρ = 1000 кг/м³, g = 10 Н/кг. Давление воздуха над водой 100 кПа.

Давление самой воды: pж = 1000·10·3 = 30 000 Па = 30 кПа.

Полное давление включает воздух: 100 + 30 = 130 кПа.

Неизвестная ширина бассейна не нужна: при этих условиях давление зависит от глубины, а не формы.

Давление столба воды 30 кПа; полное 130 кПа.

Прибавка ρgh возникает потому, что нижние слои удерживают вес верхних; площадь столбика сокращается в расчёте.

Полное давление равно p₀ + ρgh: нулевая глубина не означает отсутствия давления.

Уровни в соединённых сосудах и манометре устанавливаются так, чтобы давления у соединения уравновесились.

Воздух тоже создаёт давление. Дальше используем его измерение и передачу давления для работы гидравлической машины.