Система отсчёта и равномерное движение

Поезд тронулся, а сидящий напротив пассажир остался на том же месте. Как два верных наблюдения могут описывать одно тело? Сначала договоримся, относительно чего измеряем положение, а затем попробуем предсказать его через несколько секунд.

Представь двух наблюдателей: один стоит на станции, другой сидит в поезде. Для первого пассажир движется, для второго покоится. Ошибки нет: они сравнивают положение с разными телами. Чтобы повторить измерение, нужны тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы. Вместе они составляют систему отсчёта. Без такого выбора фраза «тело движется» ещё не задаёт полного описания.

Нужно узнать время поездки между городами. Изменит ли ответ учёт каждого колеса автомобиля? Практически нет: достаточно следить за одной точкой. Материальная точка — модель тела, размерами и формой которого в данной задаче можно пренебречь. Но попробуй въехать в тесный гараж: теперь именно размеры определяют результат. Модель выбирают по вопросу, а не по тому, велико ли тело само по себе.

Как сообщить человеку, где ты находишься на прямой дороге? Выберем заметный столб за начало и одно направление за положительное. Координата x — положение на этой оси, измеряемое в метрах. Запись x = −3 м означает три метра от нуля против выбранного направления. Если перенести ноль или развернуть ось, число изменится, хотя человек никуда не пойдёт. Координата зависит от нашей договорённости.

Пройди от дома до магазина и вернись. Счётчик шагов покажет ненулевое расстояние, а твоё положение восстановится. Поэтому нужны две величины. Путь — длина всей пройденной траектории; он неотрицателен. Перемещение — вектор, стрелка из начального положения в конечное. После возвращения он нулевой. Перемещение отвечает на вопрос «где оказался?», путь — «сколько прошёл?».

На прямой вместо стрелки удобно записывать её проекцию: sₓ = x − x₀, где x₀ — начальная координата. Почему вычитаем? Нас интересует изменение положения, а не расстояние от выбранного нуля. При росте координаты sₓ положительна, при уменьшении отрицательна. Если передвинуть начало оси, обе координаты изменятся одинаково, а их разность сохранится. Длину пройденного маршрута этот знак не делает отрицательной.

Отмечай положение игрушечной тележки каждую секунду. Если за любые равные промежутки она совершает одинаковые перемещения по прямой, движение равномерное прямолинейное. Проекция скорости vₓ показывает, насколько меняется координата за секунду; единица — м/с. При vₓ = −2 м/с координата каждую секунду уменьшается на 2 м. Модуль скорости равен 2 м/с: минус задаёт направление, а не медлительность.

За одну секунду координата меняется на vₓ метров, за две — вдвое больше. При постоянной скорости одинаковые изменения складываются, поэтому sₓ = vₓt. Здесь t — длительность наблюдения в секундах; м/с, умноженные на с, дают метры. Удвоим время — удвоится перемещение; при vₓ = 0 оно исчезнет. Если тележка разгоняется, одна начальная скорость уже не описывает все следующие секунды.

Перемещение ещё не говорит, где находится тело: для этого нужно знать старт. Прибавим изменение к начальной координате: x = x₀ + vₓt. При t = 0 получаем x₀, как и должны. Более отрицательная скорость быстрее уменьшает координату; положительная увеличивает её. Начало движения не обязано совпадать с нулём оси. Эта формула предсказывает положение, пока проекция скорости остаётся постоянной.

Поставим на графике точки: по горизонтали время t, по вертикали координата x. Равные приращения координаты за равные времена дают прямую. Отношение Δx/Δt — её наклон и одновременно vₓ. Горизонталь означает покой, подъём — движение по оси, спад — против оси. Более крутая прямая при одинаковых масштабах означает больший модуль скорости. Спадающий график сам по себе не означает торможения.

Пешеход начинает в x₀ = 6 м и идёт с vₓ = −2 м/с. Где он через 4 с?

Начало находится справа от нуля: x₀ = 6 м. Скорость vₓ = −2 м/с означает, что каждую секунду координата уменьшается на 2 м.

За 4 с изменение составит sₓ = vₓt = −2 · 4 = −8 м. Поэтому x = x₀ + sₓ = 6 − 8 = −2 м.

Проверим движение: до нуля 6 м, их пешеход проходит за 3 с. За последнюю секунду он уходит ещё на 2 м против оси. Разворота не было, поэтому путь равен 8 м.

Через 4 с пешеход находится в x = −2 м, то есть в двух метрах от нуля против оси. Путь — 8 м, проекция перемещения — −8 м.

Описание движения начинается с наблюдателя, оси и часов: разные координаты могут описывать одно событие.

Путь складывает весь маршрут, а перемещение сравнивает его конец с началом.

При постоянной скорости одинаковые изменения положения складываются в x = x₀ + vₓt; знак скорости задаёт направление.

Далее научимся описывать изменение скорости и читать график разгона.