Равноускоренное движение и его графики

Два велосипедиста сейчас едут с одинаковой скоростью, но один разгоняется, а другой тормозит. Через секунду они окажутся в разных местах. Как записать то, чего не сообщает одно показание спидометра?

Маршрут мог включать остановки и быстрые участки. Разделив весь путь на всё время, мы получим среднюю путевую скорость, но не узнаем скорость в каждом месте. Для этого находят среднюю векторную скорость на всё меньшем промежутке времени. Её предельное значение при уменьшении промежутка до нуля называют мгновенной скоростью. Спидометр показывает её модуль, а вектор направлен по касательной к траектории. Одинаковая средняя скорость ещё не означает одинаковой поездки.

За 2 с проекция скорости выросла с 3 до 7 м/с. Если изменение равномерное, на каждую секунду приходится (7 − 3)/2 = 2 м/с. Эту скорость изменения описывает ускорение: aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t, единица — м/с². При вдвое большем изменении за то же время ускорение вдвое больше; если скорости равны, оно нулевое при постоянном ускорении. Без условия равномерности отношение даёт лишь среднюю проекцию ускорения.

Можно подумать: отрицательное ускорение всегда тормозит. Проверь на теле, движущемся против оси: vₓ меняется от −3 до −5 м/с. Проекция уменьшается, но модуль скорости растёт. При одинаковых знаках vₓ и aₓ тело разгоняется, при противоположных замедляется до возможного разворота. Ускорение описывает изменение вектора скорости, поэтому его знак нельзя читать отдельно от направления движения.

Пусть каждую секунду к проекции скорости добавляется одно и то же значение aₓ. За t секунд добавка равна aₓt, а полная скорость vₓ = v₀ₓ + aₓt. Это закон равноускоренного движения: вектор ускорения постоянен. При aₓ = 0 возвращается равномерное движение; при t = 0 остаётся начальная скорость. Единицы согласуются: м/с² · с = м/с. Удвоение времени удваивает добавку, а не обязательно всю скорость.

Нарисуем vₓ(t). Высота точки показывает проекцию скорости сейчас, а наклон — её изменение за единицу времени: aₓ = Δvₓ/Δt. Постоянная прибавка даёт прямую. Горизонтальная линия на уровне 5 м/с означает движение с этой скоростью без ускорения. Более крутой спад — более отрицательное ускорение, но разгон это или торможение, можно понять только по тому, где линия находится относительно нуля.

Как получить перемещение из рисунка скорости? За короткое время Δt скорость почти постоянна, и вклад равен vₓΔt — площади узкой полоски. Сложим все полоски: алгебраическая площадь под графиком даст проекцию перемещения. Ниже оси vₓ отрицательна, значит координата там уменьшается. Для пути нужны модули площадей: пройденные участки не исчезают после разворота. Размерность площади здесь (м/с)·с = м.

При постоянном ускорении площадь под прямой vₓ(t) — прямоугольник v₀ₓt и добавка треугольника aₓt²/2 с учётом знака. Отсюда sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2. Половина появляется потому, что добавочная скорость нарастает от нуля, а не действует целиком с начала. При старте из покоя удвоение времени увеличивает перемещение вчетверо. Если был разворот, sₓ остаётся изменением координаты и не равно всему пути.

Иногда время не измерено, зато известны скорости в начале и конце участка. Исключая t из двух уже найденных зависимостей, получим vₓ² − v₀ₓ² = 2aₓsₓ. Формула связывает изменение квадрата скорости с ускорением и перемещением при постоянном aₓ. Если aₓsₓ отрицательно, квадрат скорости уменьшается. Все проекции относятся к одной оси; квадрат конечной скорости сам не сообщает, в какую сторону тело движется.

Есть независимая проверка: при линейном изменении скорости её средняя проекция равна (v₀ₓ + vₓ)/2. Ранние значения ниже среднего компенсируются поздними выше него. Умножим эту величину на t и получим то же sₓ. При постоянной скорости среднее совпадает с ней. При развороте средняя проекция может быть нулевой, хотя путь положителен; среднюю путевую скорость тогда считают отдельно.

Велосипедист едет со скоростью 8 м/с и тормозит с постоянным ускорением 2 м/с² против движения. Найдите время и путь остановки.

Направим ось вперёд: v₀ₓ = 8 м/с, aₓ = −2 м/с². При остановке vₓ = 0: надо убрать 8 м/с по 2 м/с за секунду.

Из 0 = 8 − 2t получаем t = 4 с. До этого момента направление движения не меняется.

sₓ = 8 · 4 − 2 · 4²/2 = 16 м. Это также путь, поскольку велосипедист не разворачивался.

Проверим площадью под графиком: средняя скорость (8 + 0)/2 = 4 м/с, за 4 с она даёт 16 м. Продлевать расчёт с тем же ускорением после остановки без нового условия нельзя.

Велосипедист остановится через 4 с, проехав 16 м. За это время скорость равномерно снизится с 8 м/с до нуля.

Ускорение описывает изменение скорости; его знак без знака скорости не говорит о разгоне.

Наклон графика скорости показывает ускорение, а площадь с учётом знака — изменение координаты.

Формулы равноускоренного движения работают на участке с постоянным ускорением; путь и перемещение при развороте считают по-разному.

Рассмотрим три применения скорости: падение, поворот и переход к другому наблюдателю.